Provocarea de logica a saptamanii: Pescarii si vardistul (UPDATE cu rezolvarile)

de Viorel Zaicu     HotNews.ro
Sâmbătă, 27 august 2016, 10:08 Magazin

Provocarea de logica a saptamanii
Foto: Hotnews
Puiu Botan, unul dintre cititorii noștri fideli, a propus o problemă demnă pentru încălzirea de azi. Doi tați și fiii lor merg la pescuit. Prind fiecare câte un pește și se întorc acasă, unde așează peștii pe masă. Și totuși, pe masă sunt doar trei pești. Cum e posibil?

Alfina face baie într-un lac perfect rotund. Pe marginea lacului apare un vardist care îi spune că, dacă o prinde când iese din apă, o amendează. Alfina e în mijlocul lacului, iar vardistul se poate deplasa cu o viteză de patru ori mai mare decât cea cu care înoată Alfina. Cum face Alfina să scape?

Îi mulțumesc lui Mihai Negrea pentru verificări. I-aș ruga pe cei care îmi trimit rezolvări prin e-mail să spună și cât de grea li se pare problema la care răspund (pe o scară de la 1 la 5). Mulțumesc. Comentariile, întrebările, propunerile, sugestiile și reclamațiile sunt așteptate la viorel.zaicu@hotnews.ro.

Rezolvări

Pescarii

La pescuit au mers, bineînțeles, doar trei persoane: fiul, tatăl și bunicul.

Vardistul

Există cel puțin două rezolvări pentru această problemă. Să ne uităm puțin la cea mai simplă. Cel mai scurt drum către mal echivalează cu o rază a cercului, căreia îi putem da valoarea 1.

Pentru vardist însă distanța este însă de 3,14 ori mai mare (lungimea unui semicerc), iar el se deplasează de patru ori mai repede. Prin urmare, Alfina nu poate scăpa așa. Totuși, ca să ajungă la mal înaintea vardistului Alfina poate să recurgă la un truc. Ea trebuie să se plaseze pe un diametru al cercului ca în figura de mai jos, cu punctul de salvare diametral opus celui în care se află vardistul, în așa fel încât distanța care îi rămâne de înotat să fie din rază, adică aproximativ 0,79 din rază. (Cârcotașii pot lucra și cu 0,78 sau chiar cu mai puțin.) În felul acesta distanța pe care o are de parcurs e de mai bine de patru ori mai mică decât cea pe care o are de parcurs vardistul, așa că Alfina poate ajunge la mal înaintea lui. Este suficient așadar ca Alfina să înoate 21% din rază (sau 22) în orice direcție și apoi... să se învârtă în cerc. La un moment dat va ajunge în poziția salvatoare.



Cititi si provocarile de logica din ultimele saptamani:

2016 si reteta cea noua

Melcul si musca
Ciorapii si monedele
Logicianul in vacanta
Cutia cu purici și literele
Painea prajita si mancatorii de iaurt
13 monede si niste precupeti 
Cinci cercuri si doisprezece infometati
Doua usi si trei fesuri
Varza, Gogu si ceasurile
Varstele copiilor si spargatorii 
Caracatitele si propozitiile adevarate 
Bacteriile si lantul












Citeste pe Stirile Pro Tv

Prima vizita in strainatate a ducelui si ducesei de Cambridge, cu ambii copii. De ce a ingenuncheat premierul Canadei

Ducele si ducesa de Cambridge si copiii lor: George si Charlotte, au ajuns in Canada, in prima vizita in strainatate in formula de 4. Daca printul George este deja la al doilea turneu in strainatate, dupa Australia, pentru surioara lui de 16 luni e prima oara cand pleaca atat de departe de casa.
4319 vizualizari
  • +2 (4 voturi)    
    rez (Sâmbătă, 27 august 2016, 11:07)

    dori999 [utilizator]

    Erau de fapt trei barbati: A, tatal lui si bunicul lui (tatal tatalui lui A).
  • 0 (2 voturi)    
    Îi bănuiesc (Sâmbătă, 27 august 2016, 11:07)

    Teodor1 [utilizator]

    ... pe cei doi tați că sunt în raport de rudenie tată-fiu, iar cel din urmă are la rândul său un fiu. Prin urmare, să prindă pește probabil că au plecat fiul, tatăl și bunicul, fiind îndeplinită condiția DOI TAȚI ȘI FIII LOR.

    Dacă Alfina ar înota în linie dreaptă în raza opusă vardistului, acesta ar prinde-o, căci viteza de deplasare a celui din urmă este mai mare decât π .
    Intuitiv cred că pe undeva pe la jumătatea razei (în fine, într-un punct ce necesită calcule matematice) ar trebui să schimbe unghiul (în direcția opusă celei din care vine vardistul), căci deja ea va ști pe care parte a cercului vine vardistul.
  • +1 (3 voturi)    
    sol (Sâmbătă, 27 august 2016, 11:21)

    tropojo [utilizator]

    la prima problema au plecat la pescuit un bunic cu fiul si nepotul sau.
  • +4 (8 voturi)    
    solutie problema 2 (Sâmbătă, 27 august 2016, 12:20)

    dori999 [utilizator]

    Daca raza lacului este r si v este viteza cu care inoata Alfina, timpul in care A ajunge la mal inotand din centru in linie dreapta este r/v. Daca Alfina inoata in sens opus fata de vardist, vardistul parcurge jumatate din circumferinta lacului in timpul pi*r/(4v), care este mai mic decat r/v, deci aceasta strategie nu este buna. Prin urmare ar trebui sa nu porneasca din centrul lacului, ci din alt punct, iar intr-o prima faza trebuie determinat acest punct S (start).
    Putin greu de explicat solutia fara un desen...
    Notam cu d distanta radiala de la S la punctul de finish F. Timpul necesar parcurgerii segmentului SF este d/v. Daca vardistul este situat diametral opus cu F, el parcurge jumate din circumferinta cercului in timpul pi*r/(4v). La limita, d/v=pi*r/(4v), de unde d=pi*r/4=aprox.0.785r. In faza a doua trebuie sa vedem cum ajumge Alfina in punctul de start S, care sa fie diametral opus punctului unde se afla vardistul.
    Daca A inoata pe curcumferinta de cerc, daca cercul este suficient de mic (de raza r1<r/4), A va fi mai rapida ca vardistul. Prin urmare A porneste din centru si se misca pana intr-un punct care sa fie situat la distanta r2<r1 fata de centru. Din aceasta pozitie se poate misca pe circumferinta cercului de raza r2 pana cand vardistul (care se misca si el, desigur) este in punct diametral opus. In acel moment inoata radial spre mal, in directie opusa vardistului. Distanta d corespunde unei raze egale cu r-d=aprox0.215r <r/4. In concluzie, Alfina sigur poate ajunge pe un cerc de raza intre 0.215 r si 0.25 r, cu vardistul diametral opus fata de ea.
    Dificultatea problemei este 5/5.
    • +1 (1 vot)    
      dificil (Sâmbătă, 27 august 2016, 22:24)

      BogdanCur Ly [anonim] i-a raspuns lui dori999

      De acord cu gradul de dificultate. La fel de dificil a fost pentru mine sa gasesc butonul de vot pozitiv, drept pentru care ti-am acordat din greseala vot negativ :))
    • +1 (1 vot)    
      nice! (Sâmbătă, 27 august 2016, 23:58)

      J_W [utilizator] i-a raspuns lui dori999

      .
  • +4 (4 voturi)    
    Alfina (Sâmbătă, 27 august 2016, 15:16)

    CarpeDiem [utilizator]

    Alfina va inota pe spate, cu privirea spre urmaritor, schimbind directia astfel incit sa-l aibe permanent diametral opus. Viteza ei unghiulara este mult mai mare in apropierea centrului cercului.
    Este suficient sa inoate astfel, un sfert din distanta pina la mal (1-PI/4)xR, dupa care poate inota direct spre mal, fara a mai putea fi ajunsa.
    • 0 (2 voturi)    
      oare? (Sâmbătă, 27 august 2016, 20:02)

      dori999 [utilizator] i-a raspuns lui CarpeDiem

      intrebarea e daca ea poate sa-l aiba in permanenta diametral opus
  • -1 (1 vot)    
    hmmm - mergem cu smecherii? (Sâmbătă, 27 august 2016, 16:16)

    ..13 [utilizator]

    1. Daca au pierdut sau au vandut cel putin un peste pe drum - ca nu se spune ca ajung cu toti pestii acasa???

    Poate ambii tatii au de fapt un singur fiu - fiul are un tata adevarat si celalalt tata este cel care l-a adoptat si crescut???

    Un lucru este cert ca sunt 2 tati si numarul fiilor este indefinit...

    2. Alfina inota pe la suprafata timpul necesar alfinei este x/viteza1 iar cel al paznicului este alfa*R/4*(viteza1). Cum alfa este maxim 3,14 si distanta x ar fi in acest caz cel putin R se poate constata ca orice ar face Alfina mereu ajunge paznicul mai repede acolo...

    Asa ca se aplica smecherii...

    Deci pp ca trebuie sa mimeze ca se indreapta spre o directie si, dupa ce se asigura ca paznicul a luat directia aceea, pe sub apa, sa inota exact in sensul opus.
  • +1 (1 vot)    
    Problema nr.2 (Sâmbătă, 27 august 2016, 22:47)

    motanul_gri [utilizator]

    Sa ne imaginam ca lacul are forma unui cadran de ceas. Notam raza cu R.
    Vardistul se afla initial intr-un loc oarecare pe circumferinta, de exemplu in locul orei 3 (notam acest punct cu X). Alfina pleaca din centrul lacului, din punctul O, inotand in directie opusa fata de locul unde se afla vardistul (catre ora 9 pe cadran - notam acest punct cu Y). Vardistul va trebui sa aleaga imediat daca porneste pe mal spre stanga sau spre dreapta (nu are importanta). Sa presupunem ca porneste spre stanga sa, deci catre ora 6.
    Cand Alfina ajunge in punctul A, aflat la o zecime din raza cercului distanta fata de O si noua zecimi fata de Y, isi schimba directia de deplasare perpendicular pe raza YO, inotand de acum inainte drept in directia "sus" pe ceasul imaginar. Asta inseamna ca va atinge circumferinta aproximativ undeva in zona orei 11, in punctul pe care il notam cu B.

    Deci Alfina parcurge in total segmentele OA + AB, adica:
    R/10 + R*radical (0,99) = 1,095 * R

    Vardistul va parcurge pe circumferinta tot arcul mare (XB), compus din: semicercul (XY) avand lungimea pi*R la care se aduna arcul (YB) avand lungimea pi*R*(masura unghi (YOB)) /180 grade.

    In triunghiul dreptunghic AOB, unghiul AOB (acelasi cu YOB) are cosinusul egal cu segmentul AO impartit la raza OB, adica 0,1. Deci unghiul este de aprox. 84,3 grade.
    Asadar arcul de cerc (YB) are lungime:
    pi*R*84,3/180 = 3.1415*84,3/180 * R = 1,47 * R
    Vardistul va parcurge in total acest arc (YB) plus semicercul (XY), adica:
    1,47 * R + 3,1415 * R = 4,61 * R

    In concluzie, Alfina va trebui sa parcurga o distanta de 1,095 * R, iar vardistul una de 4,61 * R.

    Intrucat 4,61/1,095 = 4,21, rezulta ca vardistul ar trebui sa mearga cu o viteza de 4,21 ori mai mare decat Alfina pentru a o ajunge.
    Dar el merge de doar 4 ori mai rapid.
    Deci Alfina scapa.

    Dificultatea problemei 5 din 5 posibile.
  • 0 (0 voturi)    
    Rezolvare 2 (Duminică, 28 august 2016, 1:16)

    trotuar [utilizator]

    Pana la un sfert din raza lacului Alfina va inota in directia opusa gardianului. Este garantat ca pana acolo Alfina daca merge in cerc gardianul va fi mereu in partea opusa .
    La sfertul razei de cerc daca Alina va merge in cerc gardianul va reusi sa tina pasul cu ea, adica sa nu ramana in urma. Mai incolo el va capata teren.

    Dupa ce a ajuns la sfertul razei alina o va taia direct inspre tarm. Distanta ramasa 3/4 r. Gardianul poate parcurge maxim 3/4r × 4 adica 3r. Dar jumate de cerc este pi x r adica 3.14 r. Deci gardianul pierde in functie de cat de repede se imbraca alfina.

    Ar fi interesant de calculat viteza maxima a gardianului astfel incat Alfina sa scape, cred ca e banal dar e tarziu asa ca o las pentru voi :)
  • +2 (2 voturi)    
    Prima problema (Duminică, 28 august 2016, 11:15)

    Roof [utilizator]

    Doi taţi, dar unul dintre el e bunic. Adică trei pescari, fiecare cu un peşte. ;)

    PS: Varianta a doua: Am păţit asta eu personal. Împreună cu un amic am prins 4 ştiuci, le-am pus în juvelnic şi am ajuns la cort cu 3. Am crezut că una a scăpat dar când le-am curăţat am văzut că cea mai mare ştiucă o mâncase pe cea mai mică.
  • +1 (1 vot)    
    Prima problema banala. (Duminică, 28 august 2016, 15:35)

    coco04 [utilizator]

    Problema 2.
    Am dat valoarea 10 metri razei pentru simplitate si mi-a dat ca intr-adevar Alfina poate inota doar 2 metri (20 % din raza) in directia opusa vardistului dupa care trebuie sa se repozitioneze.
    Cum foarte bine a observat cineva, Alfina trebuie sa stea relativ in apropierea centrului ca sa aiba viteza unghiulara cat mai mare.Avand centrul cercului in centrul unui sistem cartezian,se poate afla in permanenta panta dreptei catre opusul pozitiei vardistului.,la inceput din ecuatia pantei din 2 puncte (m=y2-y1)/(x2-x1) apoi din formula y=mx+c.Eu am pus vardistul la nord si dupa ce a inotat 2 metri Alfina a trebuit sa se mute pe dreapta y=1,25x-2.,adica opus vardistului care parcursese 14,4 metri.
    Dar desi rezultatul era aproape,am intrat in criza de timp si....,ma opresc aici.
    Dificultate 5 din 5.


Abonare la comentarii cu RSS

Top 5 articole cele mai ...



Hotnews
Agenţii de ştiri

Siteul Hotnews.ro foloseste cookie-uri. Cookie-urile ne ajută să imbunatatim serviciile noastre. Mai multe detalii, aici.
hosted by
powered by
developed by
mobile version
Miercuri