Provocarea de logica a saptamanii: Melcul si musca (UPDATE cu rezolvarile)

de Viorel Zaicu     HotNews.ro
Sâmbătă, 13 august 2016, 18:32 Magazin

Provocarea de logica
Foto: Viorel Zaicu
Un melc a fost luat de furtună și a aterizat într-un puț adânc de 10 de metri. În fiecare zi parcurge doi metri spre gura puțului, dar noaptea adoarme și alunecă înapoi un metru. Câte zile îi trebuie ca să iasă din puț?

O muscă și un păianjen sunt într-o cutie ca cea din imagine, cu dimensiunile (10x4x4 cm). Ambele gângănii sunt rupte de oboseală. Musca s-a oprit să-și tragă sufletul în punctul B, care se află la jumătatea laturii. Păianjenul este în punctul A, aflat și el la jumătatea laturii. Care e cel mai scurt drum pe care păianjenul poate ajunge la muscă? (Bineînțeles, nu e Superpăianjenul, să arunce un fir și apoi să coboare pe el până la muscă - trebuie să meargă pe pereții cutiei.)


Mentiuni

Îi mulțumesc lui Mihai Negrea pentru verificări. I-aș ruga pe cei care îmi trimit rezolvări prin e-mail să spună și cât de grea li se pare problema la care răspund (pe o scară de la 1 la 5).

Mulțumesc. Comentariile, întrebările, propunerile, sugestiile și reclamațiile sunt așteptate la viorel.zaicu@hotnews.ro.

Rezolvări

Melcul

Nouă. Parcurge un metru în fiecare zi (atunci când măsurăm a doua zi dimineața), numai că în ziua a noua ajunge deja la gura puțului.

Musca


Multora li se pare paradoxal, însă drumul cel mai scurt nu este cel marcat aici de linia punctată, ci acela marcat de linia plină. Bineînțeles, cutia poate fi desfășurată în mai multe moduri, așa că mai există trasee, dintre care două sunt și ele cele mai scurte iar unul este... cel mai lung cu putință. Dacă vă distrați cu desfășurarea cutiei le puteți găsi foarte ușor.

Cititi si provocarile de logica din ultimele 11 saptamani:

Ciorapii si monedele

Logicianul in vacanta
Cutia cu purici și literele
Painea prajita si mancatorii de iaurt
13 monede si niste precupeti 
Cinci cercuri si doisprezece infometati
Doua usi si trei fesuri
Varza, Gogu si ceasurile
Varstele copiilor si spargatorii 
Caracatitele si propozitiile adevarate 
Bacteriile si lantul


Citeste mai multe despre   











Citeste pe Stirile Pro Tv

Prima vizita in strainatate a ducelui si ducesei de Cambridge, cu ambii copii. De ce a ingenuncheat premierul Canadei

Ducele si ducesa de Cambridge si copiii lor: George si Charlotte, au ajuns in Canada, in prima vizita in strainatate in formula de 4. Daca printul George este deja la al doilea turneu in strainatate, dupa Australia, pentru surioara lui de 16 luni e prima oara cand pleaca atat de departe de casa.
8838 vizualizari
  • +2 (4 voturi)    
    . (Sâmbătă, 13 august 2016, 18:54)

    marianmarian [utilizator]

    Melcul - in ultima zi urca 2 metri, iar in restul zilelor urca restul de 8 metri cu viteza de 1 m/zi, deci total = 9 zile. Foarte usoara, 1/5, poate 1.5 pt ca te poate pacali sa zici 10 zile (tinand cont ca viteza media aparenta e de 1 m/zi)

    Musca - nu-mi dau seama ce imi scapa, dar mi se pare absolut triviala, tinand cont de modul in care a fost formulata. Mai exact, pentru ca si musca, si paianjenul sunt la jumatatile laturilor si laturile pe care stau sunt egale, drumul cel mai scurt e format din doua linii perpendiculare pe laturile respective, care se intalnesc in acelasi punct, rezultand un total de 14 cm. Daca n-ar fi fost ambii fix la jumatatea laturilor, problema ar avea mai mult sens, pentru ca exista mai multe drumuri posibile (formate fie din 2 linii perpendiculare care nu se intalnesc in acelasi punct, fie din una perpendiculara si una "oblica", fie din doua linii oblice) si trebuie argumentat care e cel mai scurt. La cum e formulata - 1/5, daca se elimina cerinta ca ambii sa fie la mijlocul laturilor pe care stau, atunci devine ceva mai complicata, poate 3/5.
    • +1 (3 voturi)    
      . (Sâmbătă, 13 august 2016, 20:34)

      Seb [utilizator] i-a raspuns lui marianmarian

      Păianjenul parcurge aproximativ 13,4164 cm, trecând prin două puncte Y și X aflate pe muchiile cutiei. Drumul traversează trei fețe: cea de sus, cea din față (dinspre noi, cum privim desenul), și din stânga. Punctul Y este la 4 cm de colțul dreapta-sus-față, iar punctul X este la 1 cm de colțul stânga-jos-față.

      Intuitiv înțelegem că drumul acesta e cel mai scurt, din cauză că cele trei unghiuri descrise de traiectoria păianjenului pe fiecare din fețe sunt egale, și anume au un sinus (sau cosinus, depinde pe care unghi îl folosim) de 0.5. Dacă „desfacem” cutia de carton ridicând fața de sus înspre noi, și deschizând fața din stânga înspre noi, și trasăm o linie dreaptă între A și B, aceasta va intersecta cele două muchii în punctele Y și X.

      Folosind teorema lui Pitagora, distanța parcursă este (6^2+12^2)^(1/2) = 180^(1/2) = 13.4164...
      • 0 (0 voturi)    
        Intrebare (Sâmbătă, 13 august 2016, 22:39)

        marianmarian [utilizator] i-a raspuns lui Seb

        Asa e, se pare ca m-a orbit aparenta trivialitate a "solutiei" evidente. Am insa o intrebare - cum anume alegem acele puncte de pe laturi spre care se indreapta paianjenul? De unde stim ca functia aia in doua variabile cu radicali are minimul atunci cand alegem sa impartim latura lunga in 6/4 si cea scurta in 3/1?
      • +1 (1 vot)    
        Pt. Seb (Sâmbătă, 13 august 2016, 23:44)

        motanul_gri [utilizator] i-a raspuns lui Seb

        Domnule, felicitari ! Rezolvarea dumneavoastra pentru problema cu musca si paianjenul este cea corecta.

        Evaluez problema la 3/5.
        As fi pus chiar 4/5, dar varianta cu 10+4=14 era suspect de banala si te ducea rapid cu gandul ca poate e "ceva" la mijloc.
      • 0 (0 voturi)    
        mai citeste o data enuntul... (Duminică, 14 august 2016, 0:25)

        IancuJianu [utilizator] i-a raspuns lui Seb

        ...
  • +1 (1 vot)    
    melcul si cutia (Sâmbătă, 13 august 2016, 20:36)

    klaus_cj [utilizator]

    Ambele probleme par de vacanta :
    -melcul va ajunge la lumina la sfarsitul celei de-a noua zile si nu va mai cobori inca un metru
    -avand in vedere ca painjenul nu poate iesi din plan, desfacem cutia (laterala mica,cea care contine punctul A, o aducem la orizontala) si obtinem o suprafata plana cu cele 2 puncte, intre care, evident, cel mai scurt drum e linia dreapta. Il completez aici pe marianmarian, daca punctele A si B nu sunt pe mijloacele muchilor respective, tot asa obtinem cel mai scurt drum.
    Nu ar trebui sa ascundeti comentariile pana maine dimineata?
    • 0 (0 voturi)    
      nope (Duminică, 14 august 2016, 11:08)

      Adrian_1234 [utilizator] i-a raspuns lui klaus_cj

      daca desfaci cutia ascunzi solutia corecta
      citeste mai sus solutia corecta
      Solutia corecta e o linie ... dreapta dar intr-un univers un pic diferit de cel plan ... mai exact cand desfaci plansa fata de jos e inca legata de fata laterala chiar daca acum nu mai e (dupa desfacere).
  • 0 (0 voturi)    
    Ne ignorati total (Sâmbătă, 13 august 2016, 20:58)

    Un-oarecare [utilizator]

    V-am rugat si eu, v-au rugat si altii: ''in prima zi tineti comentariile blocate''.
    E asa de greu?
    Ce satisfactie sa am sa postez dupa cineva care deja a dat raspunsul?
  • +2 (6 voturi)    
    calea cea mai scurta : 6√5 ≈ 13,41 cm (Sâmbătă, 13 august 2016, 21:38)

    Mircha [utilizator]

    melcul are nevoie de 9 zile (8 zile * 1 m/zi + 2m)
    dificultate : 1/5

    Paianjenul din punctul A imparte latura de 10 cm in 4+6 cm si merge pe ipotenuza triunghiului dreptunghic cu laturile 2 & 4. Dupa care imparte latura de 4 cm in 3+1 cm si merge pe ipotenuza triunghiului dreptunghic 6&3. Dupa asta mai are de parcurs ipotenuza triunghiului cu catetele 1&2 pana in punctul B.
    In total are √(4+16) +√(36+9) + √ (4+1) = (2+3+1)*√(5) ≈ 13,4164 cm care e mai putin decat solutia evidenta de 14 cm :)
    Dificultate 4/5
    • -1 (1 vot)    
      calea cea mai scurta 14cm (Sâmbătă, 13 august 2016, 22:21)

      freerider [utilizator] i-a raspuns lui Mircha

      ^(4+16)+^(36+9)+^(16+1)=15,3034
      • +1 (1 vot)    
        atentie (Duminică, 14 august 2016, 11:04)

        Mircha [utilizator] i-a raspuns lui freerider

        √(4+16) +√(36+9) + √ (4+1) =6√5 ≈ 13,41

        la ultimul termen ai inlocuit
        √ (4+1) cu √ (16+1)
        si ti-a dat altceva
    • 0 (0 voturi)    
      da (Sâmbătă, 13 august 2016, 22:42)

      marianmarian [utilizator] i-a raspuns lui Mircha

      Precum am zis si la un comentariu mai sus, m-a furat peisajul. Deci clar solutia nu e 14. Dar am aceeasi intrebare si pentru tine - de ce ai ales sa imparti latura lunga in 6 si 4, iar cea scurta in 3 si 1? De ce nu alte valori? Ce anume iti garanteaza ca exact impartirile astea doua duc la un drum minim?

      Cred ca solutia optima e de fapt alta, dar e prea mult de scris aici, cu toate ca e foarte intuitiva. Am s-o trimit pe email si aflam maine raspunsul corect. Dar intrebarea pe care ti-am pus-o ramane.
      • 0 (0 voturi)    
        Cum am ales solutia (Duminică, 14 august 2016, 10:59)

        Mircha [utilizator] i-a raspuns lui marianmarian

        Smecheria e sa desfasuram cutia in plan ca o cutie de carton astfel incat sa putem uni punctele A si B cu o linie dreapta care nu paraseste desfasurarea de carton.

        Rezultatul e ca acea linie dreapta e ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu catetele 12 si 6. Astfel stim panta ipotenuzei (1:2) si putem deduce unde trebuie impartite muchiile cutiei.
  • 0 (0 voturi)    
    melci.. muste (Sâmbătă, 13 august 2016, 22:32)

    albert zweistein [utilizator]

    melcul
    In ziua a 9-a parcurge ultimii 2m si iese afara.
    1-5

    musca
    coboara 4 cm apoi merge 10cm inainte pana la musca. total 14 cm.
    1-5
  • +2 (2 voturi)    
    9 zile / 12,8 cm (Sâmbătă, 13 august 2016, 23:33)

    tikitaka [utilizator]

    sqrt(((2 + 4 + 2)^2) + (10^2)) = 12.8062484749
  • +2 (2 voturi)    
    ~12.8cm (Duminică, 14 august 2016, 0:13)

    Logicarul [utilizator]

    Mie-mi da aprox. 12.806cm: din A mergem catre muchia lunga de sus din plan apropiat, la 2.5 cm de coltul indepartat (avem √(2^2+2.5^2)). Apoi o luam in jos, catre muchia lunga de jos din plan apropiat, pana la 2.5cm de coltul de jos apropiat (avem √(4^2+5^2)) si apoi direct catre B (avem inca o data √(2^2+2.5^2).
    Intuitiv, desfasuram cutia pe laturile mari si obtinem un triunghi dreptunghic cu catetele 8 si 10. Ipotenuza va fi aprox. 12.8
  • 0 (0 voturi)    
    . (Duminică, 14 august 2016, 3:00)

    _tudor_ [utilizator]

    Paianjenul merge pe ipotenuza desfasurata a unui triungi dreptunghic cu laturile de 10 respectiv 2+4+2 cm adica o distant de ~12.81cm
    Astfel:
    -parcurge piezis fata superioara atinge muchia laterala la un sfert (2.5cm) din distanta parcurgand (2*2+2.5*2.5)^1/2 cm =~3.20cm.
    -continua piezis fata laterala atingand muchia de jos la trei sferturi din distanta parcurgand (4*4+5*5)^1/2 cm = ~6.4cm
    - continua pe fata inferioara cu un traseul siilar celui de pe fata superioara ~/3.20cm.

    P.S Solutia de 13.41cm (180^1/2) cm este aplicabila cazului in care paianjenul si destiantia sa este _PE_ cutie si nu _IN_ cutie.
    • 0 (0 voturi)    
      corect (Duminică, 14 august 2016, 11:14)

      Mircha [utilizator] i-a raspuns lui _tudor_

      solutia ta e mai buna.
      Solutia mea (cu 13,41) e un minim local :)
  • 0 (0 voturi)    
    ~12.8 (Duminică, 14 august 2016, 8:28)

    dan.c [utilizator]

    Se desface cutia astfel:
    - fata de sus se intoarce spre noi asa incat punctul A ajunge pe o verticala in dreapta
    - fata de jos se intoarce spre noi asa incat punctul B ajunge pe o verticala in stanga
    Rezulta ca drumul cel mai scurt intre A si B e ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu laturile 8 (2+4+2) pe verticala si 10 pe orizontala => AB = radical din 164 = 12,8062484748657
  • +1 (1 vot)    
    Rezolvari (Duminică, 14 august 2016, 9:26)

    Zilias [utilizator]

    Melcul:
    Evident in ultima zi urca 2 m si nu mai coboara. Asta inseamna 8 zile (necesare de a urca 8 m) plus ultima zi. Deci ii sunt necesare 9 zile.
    Dificultate 1/5

    Musca si paianjenul.
    Drumul cel mai scurt dintre 2 puncte este o linie dreapta. Din moment ce paianjenul nu poate iesi din plan (merge doar pe fetele cutiei) atunci trebuie sa desasuram cutia in plan. Astfel se obtin DOUA puncte A si vrem sa comparam care AB(1) si AB(2) este mai scurt. In plan cutia arata de jos in sus cam asa (mai usor sa desenez decat sa explic dar asta e):
    un dreptunghi 10 x 4
    un patrat 4x4 plus un dreptunghi 10 x4 plus un patrat 4x4
    un dreptunghi 10 x 4
    un dreptunghi 10 x 4

    Dreptunghiurile de 10 x 4 sunt aliniate perfect.
    Deci primul punct A este pe patratul 4 x 4 din dreapta. Rezulta AB(1) = 10 + 4 = 14 cm.
    Al doilea punct A este pe latura dreapta a dreptunghiului de sus. Rezulta (Pitagora):
    AB(2) = SQRT (10^2 + (2+4+2)^2) = SQRT(164) = 12.8062 cm.
    Deci paianjenul va merge pana va interesecta prima muchie in punctul situat fata de coltul dreapta sus la distanta (asemanare) 2/8=x/10=> x=5/2
    Apoi va merge pana in punctul situat fata de coltul din dreapta jos (asemanare):
    6/8=y/10 =>y=15/2

    Raspuns final 12.8062 cm.
  • +1 (1 vot)    
    Paianjenul lui Pitagora (Duminică, 14 august 2016, 9:45)

    amacedon [utilizator]

    Problema cu melcul e clara: 9zile dificultate 1/5. Cea cu paianjenul e chiar simpatica mai ales daca desfaci paralelipipedul cu laturile de 10x4x4 si vezi ca de fapt calea cea mai scurta pe care paianjenul o poate parcurge este ipotenuza triunghiului cu laturile 10 si 8 (4+4). Deci raspunsul este 12.806cm dificultate 2/5
  • 0 (0 voturi)    
    Raspunsuri (Duminică, 14 august 2016, 9:46)

    coco04 [utilizator]

    Problema cu melcul pare banala.Raspuns 9 zile.
    Calificativ 1 din 5.

    Problema cu paianjenul si musca e mult mai grea si e o problema de optimizare ceea ce inseamna in principiu ca admite o infinitate de solutii.
    Am setat urmatoarele variabile:
    M (pozitia mustei ca si origine intr-un sistem cartezian de 3 coordonate).Inca 3 puncte corespunzatoare paianjenului
    P (pozitia initiala) P1 si P2.
    Sunt necesare 3 deplasari :
    DPT (deplasarea pe tavan)
    CPPL(coborarea pe perete lateral)
    ,DPP(deplasarea pe podea).
    Practic paianjenul trebuie sa se deplaseze 10 metri pe axa Oy,deplasandu-se spre origine.Celelalte coordonate sunt fixe.
    M(0,0,0),P(0,10,4).P1 (2, y-variabil, 4),P2 (2, y-variabil, 0).
    Intrucat sunt 2 variabile in lucru nu exista solutie unic determinata si am introdus variabilele in Excel si am facut simulari.
    Optimul obtinut a fost 12,859 metri .Prima deplasare pe axa oy a fost de 3,35 metri iar ipotenuza (DPT) rezultata a fost de 3,902 .A 2-a deplasare pe oy a fost de 4,45 metri iar ipotenuza (CPPL) a fost de 5,984 metri.au mai ramas de parcurs 10-(3,5+4,5) =2,2 metri de parcurs pe axa oy,iar ipotenuza (DPP) a fost de 2,973 metri.
  • 0 (0 voturi)    
    Am uitat sa mentionez (Duminică, 14 august 2016, 9:50)

    coco04 [utilizator]

    Problema cu paianjenul are dificultate 5 din 5.
  • 0 (0 voturi)    
    Am mai rafinat si... (Duminică, 14 august 2016, 10:19)

    coco04 [utilizator]

    y1=2,50 metri
    y2 = 5 metri
    Drum paianjen=12,806 metri.(valoare imbunatatita cu 5 cm).
    • 0 (0 voturi)    
      mai multa atentie (care nu schimba calculele) (Duminică, 14 august 2016, 11:53)

      IancuJianu [utilizator] i-a raspuns lui coco04

      distantele sint in cm.
  • +1 (1 vot)    
    ~12.8cm (Duminică, 14 august 2016, 11:00)

    Logicarul [utilizator]

    Din A, spre muchia lunga din plan apropiat, la 2.5cm de coltul sus indepartat ((2^2+2.5^2)^1/2). Apoi, spre muchia lunga jos, la 2.5cm de coltul jos apropiat ((4^2+5^2)^1/2). Iar de aici, direct spre B ((2^2+2.5^2)^1/2). Obtinem aprox 12.806cm.
    Intuitiv, daca desfasuram cutia pe muchiile mari, linia directa intre A si B ar fi ipotenuza triunghiului dreptunchic cu catetele de 8, respectiv 10cm.
  • 0 (0 voturi)    
    hmm (Duminică, 14 august 2016, 11:31)

    Adrian_1234 [utilizator]

    Mie mi-a dat ca trece printr-un punct aflat pe muchie la distanta data de radacina ecuatiei :
    x^4 - 14x^3 + 46x^2 -300 ... 2.5 nu e radacina pt ecuatia asta ... asa ca as fi interesat cum s-a ajuns la valoarea 2.5 cm
    E posibil sa fi gresit eu la calcule.
    Am notat cu x distanta pe muchia de sus si am calculat distanta parcursa in functie de acest x si de laturi. Apoi am luat derivata de ordin 1 si am egalat-o cu 0 (ca sa gasesc minimul functiei) si am ajuns la ecuatia de mai sus (daca nu am gresit pe undeva la calcule ceea ce mi s-e intampla :( )
  • +1 (1 vot)    
    PEDAGOGIE (Duminică, 14 august 2016, 13:30)

    Teodor1 [utilizator]

    Foarte frumoasă problema muștei, însă nu ar strica și nițică intuiție didactică atunci când compunem exerciții matematice.
    Dacă am numit cele două puncte Muscă și Păianjen, atunci notația din plan trebuia redată cu M și P, nu cu A și B.
    A și B era o notație corectă dacă gângăniile erau Albină și Bondar.
    Aceasta întrucât atunci când operăm cu matematică distractivă trebuie păstrată o anumită consecvență inclusiv în desenele geometrice, astfel încât ansamblul problemei să păstreze nota umoristică din ipoteză.
    Așa fiind, notația A și B ar fi fost corectă într-un exercițiu de geometrie abstract, însă în problema de față apreciez că un pedagog de formație ar fi notat Musca cu M și Păianjenul cu P. Gradul de dificultate cred că este 5/5.
  • 0 (0 voturi)    
    o corectura: (Duminică, 14 august 2016, 14:42)

    victor L [utilizator]

    linia nu este "punctata" ci intrerupta.


Abonare la comentarii cu RSS

Top 5 articole cele mai ...



Hotnews
Agenţii de ştiri

Siteul Hotnews.ro foloseste cookie-uri. Cookie-urile ne ajută să imbunatatim serviciile noastre. Mai multe detalii, aici.
hosted by
powered by
developed by
mobile version
Marţi