Provocarea de logica a saptamanii: Varza, Gogu si ceasurile (UPDATE cu rezolvarile)

de Viorel Zaicu     HotNews.ro
Sâmbătă, 18 iunie 2016, 11:00 Magazin

Provocarea de logica a saptamanii
Foto: Hotnews
O capră aduce acasă niște verze și pleacă la vânătoare. Iedul cel mic se trezește primul și mănâncă o șesime dintre verze. Următorul se trezește și mănâncă o cincime dintre verzele pe care le găsește în casă. Mijlociul se trezește și el și mănâncă un sfert dintre verzele care mai erau. Următorul se trezește și mănâncă o treime dintre verzele pe care le vede. În sfârșit, când se trezește, iedul cel mare mănâncă și el jumătate dintre verzele pe care le găsește. Când se întoarce de la vânătoare, capra găsește trei verze. Câte verze a adus acasă?

Gogu spune adevărul doar lunea, joia și sâmbăta. În toate celelalte zile minte. Într-o zi spune: "Mâine o să spun adevărul!" Ce zi e?

În sfârșit, pentru cei care vor o nucă mai tare am pregătit pentru astăzi, fiindcă tot se apropie vacanța, o problemă specială. Se spune că a fost dată la o olimpiadă de matematică în URSS. Motivul pentru care o propun aici este următorul: dincolo de rezolvarea matematică, există o rezolvare logică, în care nu avem nevoie de niciun calcul geometric. Problema sună așa:  Avem 50 de ceasuri de mărimi diferite așezate pe o masă la întâmplare. (Asta înseamnă că unele pot fi cu ora 12 spre centrul mesei, altele cu ora 12 spre sud, altele cu ora 12 spre nord-vest ș.a.m.d.) Toate ceasurile funcționează și au fost potrivite la ora exactă. Ni se cere să demonstrăm că în decursul unei ore există un moment în care suma distanțelor dintre centrul mesei și centrul fiecărui ceas este mai mică decât suma distanțelor dintre centrul mesei și vârful minutarului fiecărui ceas.

Mențiuni

Din nou am avut o rundă fără câștigători de cărți, dar și o surpriză: cam jumătate dintre rezolvări au fost greșite. Bunăoară, mulți au considerat că "azi" din problema cu matematicienii de data trecută însemna "11 iunie", chiar și după ce au apărut rezolvările. Sunt curios ce ar fi răspuns dacă problema ar fi fost propusă cu o săptămână înainte.

Le mulțumesc celor care au trimis răspunsuri și notări. Îmi cer scuze că nu le-am răspuns tuturor, dar au fost chiar foarte multe mesaje. Îi mulțumesc lui Mihai Negrea pentru verificarea problemelor.

NB: I-aș ruga pe cei care îmi trimit rezolvări prin e-mail să spună și cât de grea li se pare problema la care răspund (pe o scară de la 1 la 5). Mulțumesc. Comentariile, întrebările, propunerile, sugestiile și reclamațiile sunt așteptate la viorel.zaicu@hotnews.ro. Editura Paralela 45 sponsorizează gânditorii cu două titluri în fiecare săptămână: Boris Kordemski, 359 de probleme de matematică recreativă, și Martin Gardner, Cele mai îndrăgite jocuri matematice și logice. Premiile sunt oferite cititorilor care fie oferă o soluție originală (sau o explicație simplă și inedită) la problemele date, fie propun o problemă pe care n-am mai întâlnit-o (cel puțin nu în varianta respectivă). Nu vă străduiți să fiți originali cu orice preț - dacă sunt mai mulți câștigători o să fie și mai multe cărți!

Rezolvări

Capra

Problema e, totuși, o glumă. Calculul aritmetic e banal: 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 18 (A doua cifră este jumătate din suma primelor trei, a treia e o treime din suma primelor trei... iar a șasea e o șesime din suma totală.)

Gogu

Marți. Dacă ar fi una dintre zilele în care spune adevărul, în ziua următoare ar trebui să mintă (pentru că ar fi marți, vineri sau duminică, și ar minți), așa că este o zi în care minte. Dar minte că spune adevărul, deci o să mintă și a doua zi. Singurele zile consecutive în care minte sunt marți și miercuri, așa că ziua în care Gogu spune „Mâine o să spun adevărul!” nu poate fi decât marți.

Ceasurile

Rezolvarea matematică e ingenioasă și destul de complicată. Presupune construirea unui trapez dreptunghic variabil cu o bază dată de distanța dintre centrul mesei și centrul unui ceas și diagonala dată de distanța dintre centrul mesei și vârful minutarului unui ceas. (Ca în figura de mai jos.) Calculul raportului mediu dintre aceste două distanțe măsurate pe parcursul unei ore ne arată că diagonala medie este mai lungă decât baza medie luată în considerare. Rezultă astfel ceea ce ni se cere să arătăm.

FIGURA Ceas 1



Totuși, problema are și o soluție cu mai puține calcule. Dacă trasăm un cerc din centrul mesei până în centrul unui ceas oarecare, acesta va intersecta cercul trasat de vârful minutarului în două puncte, secționând astfel lungimea cercului în două. (Ca în figura de mai jos.)

FIGURA Ceas 3



În punctele de intersecție A și B cele două distanțe pe care ni se cere să le comparăm sunt egale. De-a lungul unei ore distanța dintre vârful minutarului și centrul mesei (C) este mai mare decât cea dintre centrul mesei și centrul ceasului (c) pe un interval mai lung decât cel în care este mai mică, și anume cu atât mai lung cu cât lungimea minutarului este mai mare. De aici rezultă că, oricare ar fi orientarea ceasurilor, există cel puțin un moment de-a lungul unei ore în care suma distanțelor dintre centrul mesei și centrul fiecărui ceas (S1) este mai mică decât suma distanțelor dintre centrul mesei și vârful fiecărui minutar (S2). Puteți încerca să vedeți ce se întâmplă cu patru ceasuri care, dată fiind orientarea diferită, au la un anumit moment vârful minutarului în A, E, B și D, se află la aceeași distanță de centrul mesei și minutare de aceeași lungime. O să spuneți că sumele sunt egale. Ei bine, după un sfert de oră, douăzeci de minute sau douăzeci și cinci de minute diferența dintre cele două sume o să ne permită să spunem că s-a ajuns la o situație în care S1 este mai mică decât S2.

Putem să privim lucrurile și altfel, tot pe schema de mai sus: într-o oră, pentru un singur ceas media distanțelor dintre centrul mesei și vârful minutarului este mai mare decât distanța dintre centrul mesei și centrul ceasului (distanță pe care o putem considera medie). Asta nu înseamnă altceva decât că, dacă am lua în calcul 60 de ceasuri cu aceeași orientare care arată fiecare un minut al orei, S1 ar fi mai mică decât S2. (Mai mult, ar rămâne așa pe întregul parcurs al orei!) Excluzând cele mai mari 10 distanțe dintre centrul mesei și vârful minutarului, peste o jumătate de oră ar fi excluse cele mai mici 10 distanțe, deci am ajunge din nou la o situație în care S1 ar fi mai mică decât S2.

Nota redactiei:
Comentariile la acest articol votr fi aprobate dupa publicarea rezolvarilor, duminica dimineata.

Cititi si provocarile de logica din saptamanile trecute:

Varstele copiilor si spargatorii

Caracatitele si propozitiile adevarate 
Bacteriile si lantul
Sfertul de cerc si melcii strategi
Cartofii-minune si pastilele salvatoare
Guguta, ciorba si puntea afurisita 
O cada de baie si 10 logicieni
Becuri si viteze
Bile, piulite si lacate
Apa si banii
Herr Casanova
Fitiluri si clepsidre
Inviorati-va neuronii cu problema lui Einstein


Citeste mai multe despre   



















5826 vizualizari
  • 0 (0 voturi)    
    Erau verze kale? (Sâmbătă, 18 iunie 2016, 12:40)

    comentatordiletant [utilizator]

    Dacă da, 18 verze. Dacă nu, tot 18!
    1/2 * 2/3 * 3/4 * 4/5 * 5/6 * x = 3
    Făcând simplificările, rămîne
    1/6 * x = 3, de unde x = 18.

    Cum singurele două zile consecutive în care Gogu se comportă la fel sunt marți și miercuri, evident că afirmația a făcut-o marți, pentru că nici miercuri nu spune adevărul.
    Dacă ar fi o altă zi mincinoasă, conform afirmației a doua zi ar trebui să mintă, dar n-ar mai respecta graficul; la fel, într-o zi de sinceritate ar fi obligat să-și respecte a doua zi afirmația, ceea ce ar fi în afara programului.

    Cât privește ceasurile, mă mai gândesc.
  • 0 (0 voturi)    
    Fix 18 (Sâmbătă, 18 iunie 2016, 12:48)

    Spiky [utilizator]

    optsprezece verze.
  • 0 (0 voturi)    
    O solutie pt Gogu si iar o dam cu mama Rusia (Sâmbătă, 18 iunie 2016, 13:08)

    Procuratorul [utilizator]

    D-le Zaitzev, ziua e marti si problema e 1/10 ca dificultate.
    Iar o dam cu probleme din carti rusesti? Ceva din lumea civilizata nu putem cita?
  • 0 (0 voturi)    
    rezolvari (Sâmbătă, 18 iunie 2016, 14:09)

    RăzvanRădulescu1 [anonim]

    VARZA. x * 5/6 * 4/5 * 3/4 * 2/3 * 1/2 = 3 <=> x = 6!/5! * 3 = 18. Score dificultate: 1

    GOGU. Doar marți îndeplinește condițiile afirmației "Mâine o să spun adevărul!". Marți - miercuri sunt singura pereche de zile care sunt consecutiv de același tip (în care minte în acest caz). Scor dificultate: 1

    CEASURI. Problema e echivalenta cu cea a unui singur ceas cu 50 de limbi care indica in mod aleator ora. Exista o singura configuratie in care problema nu are rezolvare, si anume cand taote cele 50 de limbi sunt distribuite la intervale de distante uniforme fixe si exacte, lucru care este imposibil probabilistic, pentru ca vorbim despre probabilitati in domeniul numerelor reale, nu al numerelor intregi. Asta inseamna ca in orice alta configuratie vor exista un numar de pozitii in care suma distantelor de la un punct de pe masa la varful limbilor sa fie mai mare decat 50 * distanta din acelasi punct la centrul ceasului. Scor dificultate pentru rezolvare logica: 3, pentru rezolvare matematica: 5 ca nu mai imi amintesc nici o formula care ar ajuta aici :))
    • 0 (0 voturi)    
      Un amănunt complică problema: (Duminică, 19 iunie 2016, 11:31)

      comentatordiletant [utilizator] i-a raspuns lui RăzvanRădulescu1

      ceasurile sunt de mărimi diferite, deci minutarele au lungimi diferite. Euc red că precizarea nu e întâmplătoare.
  • 0 (0 voturi)    
    verze (Sâmbătă, 18 iunie 2016, 14:46)

    Lovilutia [utilizator]

    Cu verzele e clar. Erau 18, si fiecare ied a mancat cate 3.
    ( 18-3 = 15, 15 -3 = 12, 12 -3 = 9, 9 -3 = 6, 6 - 3 = 3)
    Cat despre capra la "vanatoare" , ma abtin :)
  • 0 (0 voturi)    
    E... (Sâmbătă, 18 iunie 2016, 14:49)

    Lovilutia [utilizator]

    ... marti.
    Pentru ca minte, iar a doua zi va minti din nou
  • 0 (0 voturi)    
    Ceasuri (Sâmbătă, 18 iunie 2016, 15:06)

    Lovilutia [utilizator]

    Indiferent de ora, suma distantelor intre centru si mijlocul ceasurilor este aceeasi.
    La limita extrema, daca minutarele ar sta radial, spre margine, va exista si o ora la care toate sunt indreptate catre centru.
    Intre aceste extreme e posibila situatia descrisa.
  • 0 (0 voturi)    
    Răspunsul meu e mai mult intuitiv decât logic (Sâmbătă, 18 iunie 2016, 15:38)

    comentatordiletant [utilizator]

    Pornim de de la cazul cel mai simplu: un singur ceas pe masă, distanța de la centrul mesei la centrul ceasului este un segment fix de dreaptă, să-i spunem M (de la masă). Distanța de la centrul mesei la vârful minutarului este un segment variabil, cu un vârf fix iar celălalt mutându-se pe un cerc (locul geometric al celui de-al doilea vârf e un cerc). Prin urmare, lungimea acestui segment variază (și este o variație de tip trigonometric, lungimea lui (X) va fi o funcție de M, raza ceasului sau mai exact lungimea minutarului, s-o notăm C și cosinusul unghiului format de cele două segmente ). Când minutarul se află în prelungirea primului segment, al doilea va avea lungimea M+C („ora fix” a problemei) Cînd minutarul ajunge în poziție opusă, lungimea va fi M-C (ora „și jumate” a problemei). Între cele două extreme vor exista două momente (sferturile) când cele două segmente vor fi egale, deci un punct de echilibru. Deci într-o oră avem 3 situații extreme, 2 de egalitate, o infinitate în care M < X și o infinitate în care M >x. La 50 de ceasuri dispuse aleatoriu (și de mărimi diferite, deci în care C este diferit) avem constante sensul de mișcare și viteza de deplasare a minutarului – deci o funcție de gradul I în cos. Până la urmă avem de demonstrat că suma de M este mai mică decât suma de X, care e o funcție de cosinus (de la 0 la 2π). Cum cosinusul poate lua valori de la -1 la +1, ceea ce la un moment dat scădem vom începe să adunăm peste o jumătate de oră. Nu am analizat însă cazul particular când ceasurile (în număr par) sunt dispuse diametral opus față de centrul mesei, minutarele au însă aceeași direcție iar diametrele ceasurilor diametral opuse sunt egale. Nu am nici timpul nici răbdarea.
    Dificultate: 1 pentru 1 și 2, 4 pentru 3 logic/intuitiv (indiferent de cum e cotat răspunsul meu) și 5 pentru 3 matematic.
    P.S. Azi ați trișat, așteptam comentarii abia mâine!
  • +1 (1 vot)    
    Marți (Sâmbătă, 18 iunie 2016, 16:03)

    nick24 [utilizator]

    e?
    • 0 (0 voturi)    
      Nu știu, poate... (Duminică, 19 iunie 2016, 12:51)

      comentatordiletant [utilizator] i-a raspuns lui nick24

      Dacă tu ne scrii din Belgia!
  • 0 (0 voturi)    
    deocamdata despre verze (Sâmbătă, 18 iunie 2016, 19:03)

    W. [utilizator]

    Pentru problema cu verzele, numarul este 18.
    Se rezolva bazat pe ecuatii simple. Din numarul total (X) se scade X/6, apoi (X-X/6)5, etc, etc si rezulta acest numar.

    Salutari !
  • 0 (0 voturi)    
    Gogu (Sâmbătă, 18 iunie 2016, 19:12)

    W. [utilizator]

    Legat de Gogu, cred ca raspunsul este marti si minte ceea ce corespunde comportamentului dat.
    Daca ar spune in oricare alta zi "maine o sa spun adevarul" nu ar fi consistent cu comportamentul lui, acela de a spune adevarul lunea, joia si sambata.

    Salutari !
  • 0 (0 voturi)    
    Probleme logica (Sâmbătă, 18 iunie 2016, 20:38)

    Yap [utilizator]

    1. 18 verze
    Dificultate: 0

    2. Marți
    Dificultate: 1

    3. Dacă trasăm un cerc cu centrul în centrul mesei și cu raza egală cu distanța centrul mesei - centrul unui ceas, în zona din afara acestui cerc, minutarul va fi mai departe de centrul mesei decât este centrul ceasului. Numim aceasta zonă, ZONA BUNĂ. Este evident că ZONA BUNĂ este mai mare decât 30 de minute. Luănd acum în considerație un alt ceas, oricum ar fi așezat, pentru că și ZONA BUNĂ a lui este de asemenea mai mare de jumătate de oră, există un interval în care minutarele sunt fiecare în ZONA BUNA, deci mai departe de centrul mesei decât centrul ceasului. La fel și SUMA distanțelor.
  • 0 (0 voturi)    
    Verze, Gogu si ceasuri (Sâmbătă, 18 iunie 2016, 21:41)

    klaus_cj [utilizator]

    1.Mergand de la ultimul spre primul, iedul 5 ar trebui sa gaseasca 6 verze, deci iedul 4 ar trebui sa gaseasca 9, iedul 3 12 verze, iedul 4 15 verze si, in fine , primul ied ar trebui sa inceapa de la 18 verze.

    2.Daca Gogu spune adevarul, inseamna ca si a doua zi ar trebui sa faca acelasi lucru, si , cum nu are 2 zile consecutive la dispozitie din enunt, inseamna ca minte.
    Daca minte, rezulta ca si a doua zi minte, singurele zile eligibile din saptamana fiind marti si miercuri, inseamna ca e vorba de marti.

    3. Considerand drumul parcurs de varful minutarului(punctul m) un cerc cu centrul in centrul ceasului (notat cu c), si , trasand un cerc cu centrul in centrul mesei (notat cu C) care trece prin prin centrul ceasului, ceasul va fi impartit in 2 parti inegale, corespunzatoare timpilor in care distanta de la minutar la centrul mesei mC este mai mare(peste 30 de minute) , respectiv mai mica (sub 30 de minute) decat cea dintre centrul ceasului si centrul mesei cC. Cele 2 puncte de intersectie sunt, desigur, cele 2 momente cand cele 2 distante sunt egale mC=cC.
    Acest rationament este valabil pentru toate ceasurile, indiferent cum sunt pozitionate sau de lungimea minutarului.
    Acum sa ne gandim ca primul ceas tocmai intra in zona mai mare, in care mC>cC, si care dureaza peste 30 minute; al doilea il punem in pozitia cea mai nefavorabila, la inceputul perioadei mai scurte(mC<cC). In momentul in care al doilea ceas trece in zona mC>cC (sub 30 de minute), primul ceas este inca in pozitia mC>cC. Oriunde am pozitiona restul de ceasuri , datorita faptului ca perioada in care mC>cC este mai mare de 30 de minute, va exista, cu siguranta, cel putin un moment in care toate vor fi in zona mC>cC, si suma lor la fel.
  • 0 (0 voturi)    
    rezolvari (Sâmbătă, 18 iunie 2016, 22:40)

    Mihai89 [utilizator]

    1. Initial au fost 18 verze. Rezolvarea e o inmultire de fractii: N x 5/6 x 4/5 x 3/4 x 2/3 x 1/2 = 3. Rezulta N=18. Dificultate 1/5.

    2. E marti. Dificultate 2/5.
  • 0 (0 voturi)    
    verze (Sâmbătă, 18 iunie 2016, 22:44)

    Ilidia [utilizator]

    Simple operatii cu fractii ordinare. Erau 18 verze.
  • 0 (0 voturi)    
    Rezolvări (Duminică, 19 iunie 2016, 1:56)

    Scaramouche [utilizator]

    1.Rezolvarea problemei nr 1:
    Facem calculele de la ultimul ied la primul:
    -Iedul cel mare găsește pe masa: 3:(1-1/2)=6 verze
    -Iedul nr. 4 găsește pe masa: 6:(1-1/3)=9 verze
    -Iedul mijlociu găsește pe masa: 9:(1-1/4)=12 verze
    -Iedul nr. 2 găsește pe masa: 12:(1-1/5)=15 verze
    -Iedul cel mic găsește pe masa: 15:(1-1/6)=18 verze
    Raspuns: 18 verze.
    Dificultate: 1 (f simpla)

    2.Rezolvarea problemei nr 2:
    -ziua nu poate fi luni pentru ca daca ar fi atunci mâine (adică marți) ar trebui sa spună adevarul ceea ce contrazice faptul ca in martea minte.
    -prin același raționament deducem ca ziua nu poate fi joi si sâmbăta.
    -daca ziua ar fi miercuri atunci ar însemna ca joi sa nu spună adevarul ceea ce contrazice faptul ca joia spune adevarul.
    -prin același raționament deducem ca ziua nu poate fi vineri si duminica
    -singura zi rămasă este ziua de marți; intr-adevăr, marți minte si a doua zi (miercuri) nu spune adevarul, adică miercuri minte, ceea ce este in concordanța cu cerințelor problemei.
    Raspuns: este marți.
    Dificultate: 2 (simpla)
  • 0 (0 voturi)    
    Rezolvari (Duminică, 19 iunie 2016, 7:47)

    Zilias [utilizator]

    Verzele.
    Un mic calcul releva faptul ca toti cei 5 iezii mananca 1/6 din numarul initial de verze. Asta inseamna ca raman tot 1/6 verze care este egal cu 3. Deci numarul de verze este 18.

    Gogu: Raspunsul e imediat (si unic): Marti

    Ceasurile: Putem reduce problema la 1 ceas cu 50 minutare dispuse aleator. Numarul de minutare care se incadreaza intr-un sector de cerc determinat de intersectia dintre ceas si cercul de raza centru ceas-punct exterior, va determina rezultatul fals (suma distantelor punct exterior-varf minutare e mai mic ca suma distantelor punct-exterior -centru ceas). Din moment ce minutarele se rotesc in decursul unei ore, ele iasa din acel sector si va exista moment in care rezultatul e adevarat. Cazul cel mai nefavorabil este cand minutarele sunt egal departate intre ele iar numarul de minutare in interioriul acelui sector este mai mare decat cele din exterior tot timpul in decursul unei ore ceea ce este imposibil (numarul maxim de minutare in interior tinde la 30 cand distanta fata de punctul exterior tinde la infinit. Sunt 50 de linii deci va exista un moment cand vor fi 20 in interior si 30 in afara).
  • 0 (0 voturi)    
    Provocarea de logica a saptamanii: Varza, Gogu (Duminică, 19 iunie 2016, 9:43)

    GigiL [utilizator]

    Capra a adus 18 verze.
    Capra are 5 iezi. Fie ei i1 (cel mai mic) pana la i5 (cel mai mare).
    i5 = 2/1 x 3 = 6
    i4 = 3/2 x i5= 9
    i3 = 4/3 x i4=12
    i2 = 5/4 x i3=15
    i1 = 6/5 x i2=18
    Dificultate: 2

    Azi e marti, pentru Gogu.
    "Maine spun adevarul" inseamna 2 zile consecutive fie cu adevar fie cu minciuna.
    Singura zi care indeplineste conditia e marti!
    Dificultate: 1
  • 0 (0 voturi)    
    18 marti (Duminică, 19 iunie 2016, 10:05)

    tropojo [utilizator]

    A - A/6 = B
    B - B/5 = C
    C - C/4 = D
    D - D/3 = E
    E - E/2 = 3

    E-E/2=3
    Ex1/2=3
    E=3x2/1
    E=6

    D-D/3=6
    Dx2/3=6
    D=6x3/2
    D=9

    C-C/4=9
    Cx3/4=9
    C=9x4/3
    C=12

    B-B/5=12
    Bx4/5=12
    B=12x5/4
    B=15

    A-A/6=15
    Ax5/6=15
    A=15x6/5
    A=18

    Dificultate 1/5

    Daca Gogu spune ca "Mâine o să spun adevărul!" aceasta inseamna ca a doua zi sunt doua optiuni: fie spune adevarul, fie minte.
    Daca Gogu spune adevarul in ziua respectiva, aceasta inseamna ca a doua zi va spune de asemenea adevarul. Acest lucru este imposibil insa, deoarece el nu spune adevarul in doua zile consecutive, ci numai lunea, joia si sambata, zile care sunt separate intre ele.
    Daca Gogu minte in ziua respectiva, aceasta inseamna ca a doua zi va minti de asemenea. Acest lucru este posibil numai martea, deoarece marti si miercuri sunt singurele zile consecutive in care Gogu minte.
    Rezulta ca in ziua respectiva este marti.

    Dificultate 1/5
  • 0 (0 voturi)    
    problema nr. 3 (Duminică, 19 iunie 2016, 10:06)

    tropojo [utilizator]

    Daca se ia oricare dintre cele 50 de ceasuri la intamplare si se trage distanta de la centrul mesei la centrul ceasului respectiv se obtine o raza.
    Daca desenam cercul descris de raza respectiva care trece prin centrul ceasului, vom observa ca acest cerc musca din cadranul ceasului, insa intr-o proportie mai mica, decat partea care este ramasa in afara cercului.
    (Aceasta se poate demonstra prin teorema lui Pitagora, respectiv in interiorul cadranului ceasului se traseaza o raza de la centru perpendiculara pe distanta de la centrul mesei la centrul ceasului, si se uneste punctul de pe circumferinta ceasului unde intersecteaza raza ceasului cu centrul mesei se obtine un triunghi dreptunghic, unde ipotenuza este determinata de distanta de la centrul mesei tangenta la cadranul ceasului; cam greu de demonstrat din cuvinte, mai usor ar fi de pus pe hartie)
    In situatia in care minutarul este in interiorului cercului descris mai sus, distanta de la centrul mesei la varful minutarului este mai mica decat raza cercului.
    In situatia in care minutarul este in exteriorul cercului descris mai sus, distanta de la centrul mesei la varful minutarului este mai mare decat raza cercului.
    Cum insa bucata din cadranul ceasului care este inclusa in cerc este mai mica decat bucata din cadranul ceasului care este ramasa in afara cercului acest lucru inseamna ca pentru orice numar de ceasuri mai mare de 2, rezulta ca va exista cel putin un moment in care suma distantelor de la centrul mesei la varful minutarelor va fi mai mare decat suma distantelor de la centrul mesei la centrul ceasurilor.
    Daca se presupune ca in absolut toate cazurile in care distantele de la centrul cercului la varful minutarelor
    Nefiind deci o egalitate perfecta de 50% intre cazurile in care distantele de la centrul mesei la varful minutarelor sa fie

    Dificultate 4/5 sau chiar 5/5 (nu sunt sigur daca rezolvarea este cea corecta)
  • 0 (0 voturi)    
    Raspuns (Duminică, 19 iunie 2016, 10:17)

    MiAd [utilizator]

    18 verze
  • 0 (0 voturi)    
    am intarziat saptamana asta :) (Duminică, 19 iunie 2016, 11:46)

    _Sherlock_ [utilizator]

    Saptamana asta am ratat exercitiile :). Primele 2 sunt simple. A 3a e frumoasa rau, dar ii dau doar 3/5 :).

    Un comentariu la rezolvarea site-ului:

    "Putem să privim lucrurile și altfel, tot pe schema de mai sus: într-o oră, pentru un singur ceas media distanțelor dintre centrul mesei și vârful minutarului este mai mare decât distanța dintre centrul mesei și centrul ceasului (distanță pe care o putem considera medie). Asta nu înseamnă altceva decât că, dacă am lua în calcul 60 de ceasuri cu aceeași orientare care arată fiecare un minut al orei, S1 ar fi mai mică decât S2. (Mai mult, ar rămâne așa pe întregul parcurs al orei!) Excluzând cele mai mari 10 distanțe dintre centrul mesei și vârful minutarului, peste o jumătate de oră ar fi excluse cele mai mici 10 distanțe, deci am ajunge din nou la o situație în care S1 ar fi mai mică decât S2"


    In enuntul problemei se spune clar ca dimensiunile ceasurilor sunt "diferite". Asta inseamna ca nici un ceas nu este egal cu celalalt. De aici rezulta ca daca exista un moment in care Sc > Sm, in interval de o ora va exista si momentul in care Sc<Sm. Niciodata nu vom avea egalitate.

    Imi cer scuze ca am ratat problemele saptamana asta :) si acum fac pe desteptul dupa publicarea rezolvarilor :).
    • 0 (0 voturi)    
      de ce? (Duminică, 19 iunie 2016, 21:06)

      Mihai89 [utilizator] i-a raspuns lui _Sherlock_

      De ce este important faptul ca ceasurile sunt sincronizate?

      De ce este important faptul ca sunt 50 de ceasuri?

      De de daca se apropie vacanta aveam nevoie de o problema speciala data la o olimpiada in URSS? :))
  • 0 (0 voturi)    
    O rezolvare pentru problema cu ceasurile (Duminică, 19 iunie 2016, 21:26)

    grigoreagape [utilizator]

    Problema cu ceasurile, rezolvare vectorială (dacă mai citește cineva asta :)) ):
    1. v0i este vecotrul definit de centrul mesei și centrul ceasului i (cu originea în centrul mesei)
    2. li este vectorul definit de către centrul ceasului i și vârful minutarului ceasului i (cu originea în centrul ceasului i)
    3. vi este vectorul definit de către centrul mesei și vârful minutarului ceasului i (cu originea în centrul mesei)
    5. vi = v0i + li (sumă vectorială); orice sumă de acum înainte va fi vectorială
    6. Vb = suma(vi) = suma(v0i+li) = suma(v0i)+suma(li)
    7. V0=suma(v0i) este un vector cu o direcție, un sens și originea în centrul mesei; vectorul este constant
    8. Lb=suma(li) este un vector cu o direcție și un sens ce depinde de momentul orei; pentru că e și el vector îl putem muta în centrul mesei (proprietățile vectorilor); acest vector se rotește practic în jurul originii precum acul unui ceas
    9. cum Vb = V0+Lb, există cel puțin un moment în care direcția și sensul lui Lb sunt aceleași cu direcția și sensul lui V0, astfel modul(Vb) = modul(V0)+modul(Lb) (sumă scalară)
    10. din Vb = V0+Lb și proprietătile de adunare ale vectorilor rezultă că timp de 30 de minute modul(Vb) >= modul(V0) și timp de 30 de minute modul(Vb) < modul(V0);
    11. din raționamentul anterior putem obseva că:
    (a) printr-o dispunere convenabilă a ceasurilor (și eventual o alegere a mărimii lor), am putea avea modul(Lb) = 0 și modul(Vb)=modul(V0)
    (b) nu contează unde este centrul mesei sau unde sunt dispuse ceasurile;
    (c) prin extinderea problemei în spațiul tridimensional (fie el n-dimesional) rezolvarea este aceeași și e cât se poate de coprehensibilă
  • +1 (1 vot)    
    Ceasurile - Partea 1 (Marţi, 21 iunie 2016, 14:30)

    CetateanLogat [utilizator]

    Rezolvarea publicata mi se pare mai mult intuitiva decat logica. Voi incerca o alta abordare.

    Rezolvare:

    Observam ca distanta dintre centrul mesei si centrul unui ceas (o vom numi "distanta centru") este mai mica decat distanta dintre centrul mesei si varful minutarului acelui ceas (o vom numi "distanta varf") doar daca varful minutarului se afla in interiorul arcului de cerc AEB (il vom numi "arcul mare") si este mai mare doar daca varful minutarului se afla in interiorul arcului de cerc ADB (il vom numi "arcul mic").

    In cazul minutarelor din "arcul mare", "distanta varf" se obtine adunand un segment de dreapta (il vom numi "segment din arcul mare") la "distanta centru". In cazul minutarelor din "arcul mic", "distanta varf" se obtine scazand un segment de dreapta (il vom numi "segment din arcul mic") din "distanta centru".

    In decursul unei ore, minutarele celor 50 de ceasuri se pot afla fie in "arcul mic" fie in "arcul mare" (cazurile in care minutarele se afla exact pe razele de demarcatie a acestor arce nu invalideaza argumentatia care urmeaza - eventual se poate considera un alt moment in care niciun minutar nu se afla in aceasta situatie).

    Pentru ca in decursul unei ore sa existe un moment in care suma "distantelor centru" sa fie mai mica decat suma "distantelor varf" (ceea ce trebuie demonstrat) trebuie ca suma tuturor "segmentelor din arcul mare" (care se adauga la "distantele centru" pentru a obtine "distantele varf") sa fie mai mare decat suma tuturor "segmentelor din arcul mic" (care se scad din "distantele centru" pentru a obtine "distantele varf"). Pentru a demonstra ca exista un asemenea moment, vom analiza situatia unui singur ceas (minutar) in doua momente distincte: momentul T respectiv momentul T plus 30 de minute (T+30).
  • +1 (1 vot)    
    Ceasurile - Partea 2 (Marţi, 21 iunie 2016, 14:31)

    CetateanLogat [utilizator]

    Vom considera ca la momentul T minutarul se afla undeva in interiorul "arcului mic", ceea ce inseamna ca la momentul T+30 acesta se va afla in interiorul "arcului mare", pe acelasi diametru al ceasului respectiv. Vom face o observatie importanta: "segment din arcul mare" de la momentul T+30 va fi intotdeauna mai mare decat "segment din arcul mic" de la momentul T, indiferent de pozitia pe care minutarul o are in interiorul "arcului mic" la momentul T (exista o singura exceptie, in care aceste segmente vor fi egale - atunci cand minutarul se afla pe dreapta CE - insa aceasta exceptie nu invalideaza rationamentul care urmeaza). Pentru a demonstra aceasta observatie vom face proiectia minutarului la momentul T respectiv la momentul T+30 pe dreapta CE (dreapta care uneste centrul mesei cu centrul ceasului). Aceste doua proiectii vor avea aceeasi lungime. Vom observa, insa, ca lungimea proiectiei minutarului (la momentul T+30) pe dreapta CE este intotdeauna (cu exceptia amintita) mai mica decat lungimea "segmentului din arcul mare", in timp ce lungimea proiectiei minutarului (la momentul T) pe dreapta CE este intotdeauna (cu exceptia amintita) mai mare decat "segment din arcul mic" (acest lucru este mai usor de observat-demonstrat daca vom roti minutarul in jurul centrului ceasului pentru ca acesta sa se suprapuna peste propria proiectie de la momentul T, respectiv de la momentul T+30).
    • +1 (1 vot)    
      ERATA (Marţi, 21 iunie 2016, 22:04)

      CetateanLogat [utilizator] i-a raspuns lui CetateanLogat

      In loc de:

      (acest lucru este mai usor de observat-demonstrat daca vom roti minutarul in jurul centrului ceasului pentru ca acesta sa se suprapuna peste propria proiectie de la momentul T, respectiv de la momentul T+30)

      Se va citi:

      (acest lucru este mai usor de observat-demonstrat daca vom roti in jurul centrului mesei segmentul de dreapta numit "distanta varf" corespunzator minutarului din "arcul mic" - de la momentul T, respectiv segmentul de dreapta numit "distanta varf" corespunzator minutarului din "arcul mare" - de la momentul T+30, in asa fel incat acestea sa se suprapuna peste proiectiile minutarelor de la momentul T, respectiv de la momentul T+30, pe dreapta CE)
  • +1 (1 vot)    
    Ceasurile - Partea 3 (Marţi, 21 iunie 2016, 14:31)

    CetateanLogat [utilizator]

    Acest lucru inseamna ca lungimea "segmentului din arcul mare" de la momentul T+30 este intotdeauna mai mare decat lungimea "segmentului din arcul mic" de la momentul T. Rezulta ca intotdeauna va exista un moment in care suma "segmentelor din arcul mare" (care se adauga la "distantele centru" pentru a obtine "distantele varf") va fi mai mare decat suma "segmentelor din arcul mic" (care se scad din "distantele centru" pentru a obtine "distantele varf"). Daca la un moment dat (T) nu vom avea aceasta situatie, atunci o vom avea obligtoriu dupa 30 de minute (la momentul T+30), moment in care toate minutarele care initial s-au aflat in "arcul mic" se vor muta in "arcul mare" si astfel suma "segmentelor din arcul mare" va deveni mai mare decat suma "segmentelor din arcul mic". Rezulta ca "in decursul unei ore exista un moment in care suma distantelor dintre centrul mesei si centrul fiecarui ceas este mai mica decat suma distantelor dintre centrul mesei si varful minutarului fiecarui ceas".


Abonare la comentarii cu RSS

Top 5 articole cele mai ...



Hotnews
Agenţii de ştiri

Siteul Hotnews.ro foloseste cookie-uri. Cookie-urile ne ajută să imbunatatim serviciile noastre. Mai multe detalii, aici.
hosted by
powered by
developed by
mobile version
Duminică