Provocarea de logica a saptamanii: Bile, piulite si lacate (UPDATE cu rezolvarile)

de Viorel Zaicu     HotNews.ro
Sâmbătă, 2 aprilie 2016, 8:55 Magazin

Provocarea de logica
Foto: Twitter
Elling, personajul-vedetă al romanelor lui Ingvar Ambjornsen, zice (în Dansul raței): „Să fi fost aşadar Kjell Bjarne complet idiot? Încă îmi aminteam bine de afirmația lui Berg că Kjell Bjarne e «cam încet». Oare această exprimare ascundea o pură subestimare? Crudul adevăr putea fi că tovarășul meu de cameră adăposteşte în capul lui imens două celule cerebrale care se dau nebunește de-a dura pe-acolo.” Ei bine, „încet” cum era, Kjell Bjarne n-ar fi putut să rezolve prima problemă de azi. 

Poate fiindcă în prima variantă, cea clasică, prezentă și în cărțile lui Martin Gardner, e vorba de niște bile. A doua variantă se găsește mai peste tot, sub diverse forme – cu fructe, cu șuruburi, cu ciucurași ș.a.m.d. Soluțiile presupun, în ambele variante, unul și același raționament. 

Să vedem cum sună... Avem trei cutii identice și trei seturi de câte două bile: un set de două bile negre, unul de două bile albe și unul cu o bilă albă și una neagră. Cele trei seturi de bile sunt puse în cutii și cineva le etichetează în așa fel încât să își dea seama ce set de bile este în interiorul fiecărei cutii: o etichetă albă, una neagră și una jumătate neagră și jumătate albă. 

Din păcate, toate cele trei etichete au fost puse greșit, așa încât nu se poate ști ce este în fiecare cutie. Trebuie să rezolvăm problema, punând etichetele corect. Nu avem voie să mișcăm cutiile și nu ne putem uita în ele, dar putem ruga pe cineva să extragă bile din ele. E suficient să-i indicăm cutia din care să extragă, numărul de bile și ordinea extragerilor... 

Câte bile trebuie să extragem pentru a putea reașeza corect etichetele și care este raționamentul? 

Varianta mai întâlnită este aceea cu lăzi de piulițe și șuruburi sau mere și pere (ori, bineînțeles, orice altă pereche de fructe). Există un set de piulițe (numărul nu are nicio importanță), unul de șuruburi și unul de piulițe și șuruburi. Regulile sunt aceleași. Bineînțeles, în acest caz nu vă cere nimeni să extrageți bile... 

A doua problemă s-ar putea să fie ceva mai complicată (să zicem 2 stele din 5). 

Hans și Georg sunt la închisoare, iar Hans vrea să-i trimită lui Georg un tratat de drept. Celulele lor sunt pe același palier, dar una este la un capăt și alta la celălalt. Hans are o cutie pe care i-o poate da printre gratii deținutului din celula alăturată. La rândul lui, acesta o poate da mai departe ș.a.m.d. 

Deținuții fac astfel de servicii, dar toți ar vrea să citească tratatul de drept, așa că, într-o cutie deschisă, tratatul nu are cum să ajungă prea curând la Georg... Hans trebuie să găsească o metodă pentru a-i transmite lui Georg cutia cu tratatul. Are un lacăt cu cheie, cu ajutorul căruia poate sigila cutia, și știe că Georg are și el un lacăt cu cheie. 

Din nefericire, cei doi nu au decât o cheie, fiecare pentru lacătul lui. Așa că Hans trebuie să gândească serios pentru a găsi o soluție. Puteți să-l ajutați?

Mențiuni 

Am primit foarte multe mesaje cu rezolvările de data trecută și, bineînțeles, am primit și multe soluții corecte. Din păcate am primit prea puține soluții la problemele suplimentare – variațiuni ale celor din articol – pe care le-am propus după expunerea rezolvărilor. 

Problema 1: Avem o găleată de 5 litri și una de 4 și trebuie să măsurăm 3 litri. Umplem găleata de 5 litri, din ea o umplem pe cea de 4 și rămânem cu 1 litru. Aruncăm apa din găleata de 4, apoi punem în ea litrul din găleata de 5. Repetăm operațiunea, așa încât o să rămânem cu 2 litri în găleata de 4. De aici înainte e banal. Din găleata de 5 plină nu mai putem turna în cea de 4 decât 2 litri, așa că în cea de 5 rămân 3 litri.

Problema 2: Avem 10 fișicuri de câte 10 monede, dintre care unul conține doar monede false, care atârnă la cântar cu două grame mai mult; cum puteți determina dintr-o singură cântărire (pe un cântar cu scală) care este fișicul cu monede false? Punem pe cântar o monedă din primul fișic, două din al doilea și așa mai departe, până la al zecelea fișic, pe care îl punem pe cântar întreg. 

În felul acesta abaterea cântarului de la greutatea celor 55 de monede cântărite ne indică fișicul cu monede false. (De exemplu, dacă moneda falsă este în fișicul de 5, abaterea trebuie să fie de 10 grame.) Ionela Tudor și Andrei Chiriac au venit cu o idee originală (dar din păcate nu și cu o rezolvare legitimă din perspectivă logică) privitoare la o variantă mai puțin risipitoare prin care se poate rezolva problema care ne cerea să măsurăm fix 4 litri de apă având la dispoziție două vase fără gradații.

Propunerea celor doi cititori presupunea însă că cele două vase (de 5, respectiv 3 litri) au o formă cilindrică regulată. Cum spuneam, ideea este că, dacă vasele sunt cilindrice, putem măsura 4 litri fără să aruncăm prea multă apă. Știți cum? 

Comentariile, întrebările, propunerile, sugestiile, reclamațiile și calificativele sunt așteptate la viorel.zaicu@hotnews.ro. 

NB: I-aș ruga pe cei care îmi trimit rezolvări prin e-mail să spună cât de grea li se pare problema la care răspund (pe o scară de la 1 la 5). Mulțumesc.

Rezolvări

Răspunsul la prima problemă s-ar putea să vă surprindă: este suficient să extragem o bilă. (Sau un fruct ori o piesă, în varianta „lărgită”) Trebuie să ne gândim bine însă, fiindcă trebuie să o extragem dintr-o cutie anume. Doar în acest fel ne putem da seama cum trebuie aranjate corect etichetele. Rugăm așadar un prieten să extragă o bilă din cutia pe care este pusă eticheta jumătate albă, jumătate neagră. Știm că în cutie nu pot fi bile de două culori (eticheta este pusă greșit). Prin urmare, dacă extrage o bilă albă, e clar că și cealaltă bilă din cutie este tot albă. De aici înainte misiunea noastră se simplifică. În cutia cu etichetă neagră nu pot fi bile negre (și eticheta respectivă e pusă greșit), nu pot fi nici albe (tocmai am descoperit că cele albe sunt în cutia din care am făcut extragerea), deci sunt cele două bile de culori diferite. În acest moment avem deja toate informațiile necesare pentru a rearanja corect etichetele de pe cutii. În cazul în care bila extrasă este neagră mergem cu același raționament mai departe... Simplu, nu?!

La problema deținuților l-ați ajutat pe Hans dacă ați venit cu următoarea idee: Hans pune tratatul de drept în cutie și o închide cu lacătul, pe care îl încuie, apoi dă cutia mai departe, până la Georg. La rândul lui, Georg pune și el lacătul lui pe cutie, alături de al lui Hans, și îl încuie, după care trimite cutia înapoi la Hans, care descuie lacătul lui și trimite cutia înapoi... În felul acesta lui Georg nu-i mai rămâne decât să descuie și să scoată tratatul de drept.


Cititi si:

Provocarea de logica a saptamanii: Apa si banii

Provocarea de logica a saptamanii: Herr Casanova

Provocarea de logica a saptamanii : Fitiluri și clepsidre

Provocarea de logica a saptamanii: Inviorati-va neuronii cu problema lui Einstein


Citeste mai multe despre   











Cum vede unul dintre cei mai cunoscuti astronomi relatia dintre stiinta si Dumnezeu, ideea de a coloniza planeta Marte si cautarea vietii extraterestre

Una dintre cele mai importante descoperiri din istoria astronomiei a fost facuta acum jumatate de secol de catre doi oameni cu un telescop. Acest lucru nu mai este posibil in prezent, cand proiectele stiintifice sunt mari si costisitoare, a spus la Timisoara, Robert Wilson, laureat al premiului Nobel in 1978 pentru o descoperire care a consacrat teoria Big Bang. Wilson a acordat un interviu pentru HotNews.ro si vorbeste despre stiinta si divinitate, despre proiectul nebunesc al lui Elon Musk pentru Marte si despre rolul norocului in stiinta. Wilson a fost invitat in Romania de compania Honeywell pentru a le vorbi studentilor interesati de o cariera in stiinta si inginerie.


​VIDEO Elon Musk a prezentat "tigle solare" gandite pentru acoperisurile caselor ecologice

​Elon Musk, carismaticul sef al Tesla Motors, a prezentat la Los Angeles tiglele care au panouri solare incorporate, ca parte a unei tendinte de diversificare a activitatilor companiilor conduse de celebrul antreprenor. Musk spune ca aceste tigle fac parte din "viitorul integrat" impreuna cu masina electrica si de bateria de perete Powerwall, viitorul in care casele pot deveni independente energetic.


​VIDEO Intre Dubai si Abu Dhabi s-ar putea construi un sistem ultra-rapid de transport Hyperloop, cu viteze maxime de peste 1.000 km/h

​Hyperloop One, una dintre cele doua companii care vor sa construiasca un sistem de transport prin tuburi speciale ce ar permite viteze de 1.000 km/h, a semnat o intelegere si va face un studiu de fezabilitate in Emiratele Arabe. Studiul de fezabilitate va fi gata in 2017 si, daca rezultatul va fi pozitiv, calatoria de aproape 150 km dintre Dubai si Abu Dhabi ar putea dura 12 minute. Planurile cele mai optimiste implica si prelungirea liniei pana in Riad, dupa 2030. Ideea Hyperloop a fost prezentata in 2013 de Elon Musk, dar inca nu exista in lume niciun sistem functional.
7623 vizualizari
  • +1 (1 vot)    
    solutie eronata (Sâmbătă, 2 aprilie 2016, 9:08)

    DanDa [utilizator]

    La problema 2 de mai sus scrieti: "În felul acesta abaterea cântarului de la greutatea celor 55 de monede cântărite ne indică fișicul cu monede false. (De exemplu, dacă moneda falsă este în fișicul de 5, abaterea trebuie să fie de 10 grame.)". Pentru ca nu se specifica in enunt cat catareste o moneda buna si cat una falsa, nu poti sa sti cat este abaterea pentru ca nu ai o informatie de referinta (de ex cat ar cantari monedele bune). Adica ai pus pe cantar monedele ca in rezolvare si cantarul arata, sa zicem 655 grame. Cat timp in enunt nu se spune cat cantareste o moneda buna, nu ai de unde sa sti ca acest 655 este mai mic cu 8, 10, sau 18 grame pentru ca nu ai fata de ce anume sa calculezi aceasta diferenta.
    • 0 (0 voturi)    
      Datele se regăsesc în textul original (Sâmbătă, 2 aprilie 2016, 10:09)

      vz [utilizator] i-a raspuns lui DanDa

      Dacă vă uitați în textul problemei din articolul de data trecută găsiți și această informație.
      • 0 (0 voturi)    
        Textul contine doar diferenta de gramaj (Sâmbătă, 2 aprilie 2016, 15:23)

        robi@news [utilizator] i-a raspuns lui vz

        In text se specifica doar diferenta de gramaj dintre o moneda buna si una falsa. Poate nu ma uit unde trebuie.
        "avem 10 fișicuri de câte 10 monede, dintre care unul conține doar monede false, care atârnă la cântar cu două grame mai mult; cum puteți determina dintr-o singură cântărire (pe un cântar cu scală și a abatere de maxim 1 gram) care este fișicul cu monede false?"
  • +2 (2 voturi)    
    solutii (Sâmbătă, 2 aprilie 2016, 11:09)

    Bomber77 [utilizator]

    prima problema are ca solutie extragere unei singure bile din cutia eronat etichetata cu alb/negru care evident va contine bile de aceeasi culoare. daca-s albe atunci bila cu albe contine negre si cea cu negre contine alb/negru... si invers.
    a doua problema este una clasica de criptare si e rezolvata cu "criptarea cu chei publice": hans trimite cutia deschisa si pune lacatul propriu in interior, gregor o trimite inapoi cu lacatul sau in interior si al lui hans sigiland cutia, hans isi deschide propriul lacat, pune cartea in interior si sigileaza cu lacatul lui gregor...
    week-end placut :)
    • 0 (0 voturi)    
      O varianta mai putin sigura (Sâmbătă, 2 aprilie 2016, 15:31)

      robi@news [utilizator] i-a raspuns lui Bomber77

      Hans trimite cuita goala. Gregor o tirmite inapoi cu lacatul sau in interior. Hans trimite cartea sigiland cutia cu lacatul lui Hans.
      • 0 (0 voturi)    
        Si Georg ... (Sâmbătă, 2 aprilie 2016, 23:08)

        Eu the first [utilizator] i-a raspuns lui robi@news

        ... isi introduce lacatul in cutie cum? Avand in vedere ca primeste cutia incuiata cu un lacat pe ea, lacat pentru care n-are cheie.
    • 0 (0 voturi)    
      Problema (Sâmbătă, 2 aprilie 2016, 18:57)

      Arlington [utilizator] i-a raspuns lui Bomber77

      Si daca cineva inchide lacatul cand hans ii trimite prima data lacatul in cutia neincuiata?

      De ce nu trimite din start Georg lacatul lui catre Hans, care ar fi diferenta intre lacatul trimis de Georg catre Hans si lacatul trimis de Hans catre Georg intr-o cutie neincuiata?
  • -1 (1 vot)    
    Bilute (Sâmbătă, 2 aprilie 2016, 11:28)

    Lovilutia [utilizator]

    Din cutia alb-alb solicit o extragere.
    Bila extrasa poate fi doar negru-negru sau alb-negru (altfel nu toate etichetele au fost puse gresit).
    Daca e negru-negru, inseamna ca in cutia alb-alb se afla bile alb-negre, iar in cealalta bile alb-alb.
    Daca e alb-neagra inseamna ca in cutia negru-negru sunt bile alb-alb.
    • -1 (1 vot)    
      O bila nu poate fi negru-negru (Sâmbătă, 2 aprilie 2016, 23:14)

      Eu the first [utilizator] i-a raspuns lui Lovilutia

      Negru-negru sau alb-alb sau negru-alb sunt etichetele cutiilor. In fiecare cutie sunt doua bile. Daca extrag o bila din cutia cu eticheta alb-alb, avand in vedere ca eticheta alb-alb poate fi doar pe cutia alb-negru sau negru-negru, si bila e neagra, nu aflu nimic in plus.
      • 0 (0 voturi)    
        seturi (Duminică, 3 aprilie 2016, 6:27)

        Lovilutia [utilizator] i-a raspuns lui Eu the first

        "Avem trei cutii identice și trei seturi de câte două bile: un set de două bile negre, unul de două bile albe și unul cu o bilă albă și una neagră."
        Eu de aici inteleg ca bilele sunt impachetate doua cate doua.
  • 0 (0 voturi)    
    Lacata si chei (Sâmbătă, 2 aprilie 2016, 11:32)

    Lovilutia [utilizator]

    E simplu, fiecare are cheia celuilalt :)
  • +1 (1 vot)    
    hmm (Sâmbătă, 2 aprilie 2016, 14:31)

    mikeymouse [utilizator]

    La cea cu 3 litri , nu inteleg de ce nu s-ar face fara risipa de apa asa :
    Umplem cea de 4. O turnam in cea de 5. Dupa care o umplem din nou pe cea de 4 si turnam un litru in cea de 5 (care are acum 4 litri). Raman 3 litri in cea de 4.

    Legat de cea cu lacatele, pun primul lacat, o trimit, pun al 2-lea lacat, o trimit inapoi, scot primul lacat si o trimit cu lacatul 2 doar (pe care il are destinatarul.
  • 0 (2 voturi)    
    Hans (Sâmbătă, 2 aprilie 2016, 15:26)

    Silviku13 [utilizator]

    Problema cu Hans si Georg e putin discutabila. Hans ar putea sa incuie cutia si sa o trimita iar dupa ce a ajuns cutia, sa trimita si cheia. Asta e varianta cea mai scurta.

    Daca nu au voie sa trimita cheile, pe motiv sa nu fie copiate de "colegi" atunci Hans trimite cartea in lada incuiata, Georg isi pune si el lacatul pe lada si o trimite inapoi ...
  • +1 (1 vot)    
    cutiutze, o singura extragere (Sâmbătă, 2 aprilie 2016, 16:05)

    Silviku13 [utilizator]

    plecam de la ipoteza ca toate etichetele de pe cutii sunt gresite, astfel
    - cutia N-A (cu eticheta negru alb) poate contine n-n (doua bile negre) sau a-a (doua bile albe);
    - cutia N-N poate contine a-a sau n-a;
    - cutia A-A poate contine n-n sau n-a,

    Daca din cutia N-A facem o extragere putem obtine cu o probabilitate de 50%:
    - o bila alba => in N-A avem a-a => in N-N a cazut posibilitatea de a avea a-a, mai ramane n-a, cusiguranta in N-N vom avea n-a => in cutia A-A nu vom putea avea decat n-n
    sau
    - o bila neagra => in N-A avem n-n => A-A vom avea n-a => in N-N vom avea a-a
  • 0 (0 voturi)    
    Cam asa (Sâmbătă, 2 aprilie 2016, 23:19)

    Eu the first [utilizator]

    1) O singura bila extrasa ajunge. Exista in total sase moduri de a lipi etichetele pe cutii. Dintre acestea, patru lasa cel putin o eticheta la locul ei, asa ca daca fiecare eticheta e pusa gresit, ramanem cu doar doua moduri posibile in care au fost lipite etichetele. Astea pot fi reprezentate asa:

    Varianta 1:
    a: * o
    n: o o
    p: * *

    Varianta 2:
    a: * *
    n: * o
    p: o o

    unde a e eticheta pt. alb, n e pentru negru, p pentru pestrit (amestecat), * e pentru o bila neagra si o e pentru o bila alba.

    Acuma, ce-i interesant, la faza asta, e ca in fiecare dintre cele doua moduri eticheta p e pusa pe o cutie cu bile de o singura culoare. Daca scoatem o bila din cutia cu eticheta p, stim in care varianta ne aflam, si putem amplasa etichetele corect.

    Ordinea cutiilor pe masa nu conteaza, conteaza doar eticheta pe care o are fiecare cutie initial - dupa aia ne luam cand lipim etichetele corect.

    Spre exemplu, daca scoatem o bila neagra din cutia cu eticheta p, e clar: pe eticheta care a avut initial p lipim n, pe cea care are n lipim a si pe cea care are a lipim p - nu ne-am folosit de ordinea cutiilor pe masa. Situatia in care scoatem o bila alba din cutia p e simetrica.

    2) E mai complicat pt. ca nu-mi e 100% clara ipoteza. Presupunand ca detinutii din celulele intermediare dau mai departe neconditionat cutia daca cutia e incuiata, solutia e cam asa: Hans incuie cutia cu lacatul lui, pastreaza cheia, si-i trimite cutia lu' Georg. Georg la randul lui o incuie si el, cu lacatul lui, si-o trimite inapoi fara s-o deschida. Acu', cand cutia ajunge iar la Hans, Hans da jos lacatul lui, dar cutia ramane in continuare incuiata - cu lacatul lu' Georg. Cand Georg capata din nou cutia, deschide lacatul lui si scoate tratatul.

    Solutia la 2) nu-mi apartine, insa.
    • 0 (0 voturi)    
      Hans poate transmite wireless, (Duminică, 3 aprilie 2016, 9:36)

      Con_stan_tin [utilizator] i-a raspuns lui Eu the first

      nu tratatul ci informaţia din el, şi nu doar lui Georg ci către toţi deţinutii de pe palier.
  • 0 (0 voturi)    
    bile albe/negre (Sâmbătă, 2 aprilie 2016, 23:56)

    broco [utilizator]

    Incepem cu idea ca nu conteaza cum sunt lipite etichetele , ne intereseaza cum aflam bilele.
    Varianta 1: cerem persoanei respective sa ne arate toate bilele din cutie si le rearanjam in functie de etichete
    varianta 2: daca ne intereseaza aflarea bilelor cu un numar minim de extrageri atunci:
    a)din orice cutie extragem amandoua bilele, daca suntem norocosi si extragem exact o bila alba si una neagra, mai trebuie extrasa doar o bila din alta cutie si avem rezolvarea din 3 extrageri
    b)din orice cutie extragem 2 bile si amandoua sunt albe (sau negre), mai extragem o bila dintr-o cutie si daca avem noroc si e alba avem rezultatul din 3 extrageri, daca nu e alba mai extragem din aceasi cutie cealalta bila si avem rezultatul din 4 extrageri.
    c) din 2 cutii extragem direct bilele si aflam rezultatul din 4 extrageri.
    d)daca avem imaginatie sau ne pricepem la matematica( eu sunt cu imaginatie): stim ca fiecare eticheta e gresit lipita, scoatem bilele din cutia 1 si in functie de culoare lipim pe cutie eticheta potrivita, ne raman 2 cutii dintre care 1 fara eticheta(tocmai am lipit-o pe cutia 1); cutia de pe care nu am dezlipit eticheta stim clar ca are eticheta gresita, deci schimbam etichetele ramase intre cutiile 2 si 3.In acest caz aflam rezultatul dorit din 2 extrageri fara sa verificam bilele din celelalte cutii.
    Cat de grea a fost intrebarea? Daca vreunul din raspunsuri e cel asteptat de autor, a fost de 2 daca 1 e usor si 5 e greu sau 4 daca 5 e usor si 1 e greu. :)))
    Daca raspunsul d) dat de mine e gresit atunci e irelevant cat de grea a fost problema. :))
  • 0 (0 voturi)    
    Soluția pentru cutia cu lacăte (Duminică, 3 aprilie 2016, 9:21)

    FogarassyPaul [anonim]

    Soluția cea mai elegantă la problema cu lacăte este legarea în serie a lacătelor.

    Astfel primul deținut încuie lacătul său pe numai unul dintre belciuge și trimite astfel cutia. Al doilea introduce tratatul și încuie cutia cu lacătul său folosind însă belciugul liber și lacătul celuilalt.

    În acest fel cutia este încuiată dar oricine are una dintre chei poate deschide cutia.
  • 0 (0 voturi)    
    lacate (Duminică, 3 aprilie 2016, 19:57)

    Conservator [utilizator]

    Problema cu lacate este, ceea ce numesc eu o problema cu domeniu deschis sau o problema de smecherie.
    Este o adaptare grosiera la modul de comunicare cu incriptare asimetrica (ce incriptez eu cu cheia ta publica, pe care o dai la toata lumea, poti decripta numai tu, cu cheia ta privata, pe care n-o dai la nimeni).
    De ce e o problema de smecherie, si nu de logica? Pentru ca nu ni se spune nicaieri ca pe cutie se pot pune doua lacate ( https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d1/-_Padlock_-.jpg ) si nici ca se pot prinde unul de altul ( https://de.pinterest.com/pin/34691859605249796/ ). Daca nu se specifica acest lucru putem presupune ca nici alte lucruri nu ni se specifica si atunci urmatoarele rezolvari sint la fel de valide:
    1/ tratatul se preda in sala de mese, face-to-face, fara intermediari, fara cutii;
    2/ se trimite tratatul in cutia incuiata, apoi se trimite si cheia;
    3/ se trimite cutia recipientului cu lacatul descuiat (lacatele sint automate, da? nu-ti trebuie cheie ca sa incui un lacat), se pune tratatul, se incuie si se trimite inapoi incuiata.
    4/ transmiterea in acelasi timp catre toti recipientii a tratatului prin morse sau cu voce tare nu este posibila pentru ca problema specifica destul de clar ca cei doi sint in inchisoare, unde nu au voie sa vorbeasca si pentru ca timpul este o constringere care nu ar mai fi respectata.
  • 0 (0 voturi)    
    colet (Duminică, 17 aprilie 2016, 22:14)

    2304 [utilizator]

    Georg poate trimite un colet cu lacatul lui catre Hans care apoi poate sigila cutia cu tratatul si sa-l trimita inapoi lui Georg (asta fara varianta de genul "daca nustiu care inchide lacatul" sau "daca lacatul se inchide sau nu fara cheie") ... oricum din enuntul problemei lipsesc chestii esentiale. De exemplu tratatul trebuie sa-l citeasca toti detinutii de pe palier, dar despre lacat nu se specifica nimic, pot sa-l inchida/deschida?, pot sa faca ceva cu cheia?, pot sa...? ce?


Abonare la comentarii cu RSS

Top 5 articole cele mai ...



Hotnews
Agenţii de ştiri

Siteul Hotnews.ro foloseste cookie-uri. Cookie-urile ne ajută să imbunatatim serviciile noastre. Mai multe detalii, aici.
hosted by
powered by
developed by
mobile version
Marţi