În "Kremlinul de zahăr" Vladimir Sorokin povestește un banc: Intră părintele Onufri în clasă: „Copii, cât face doi plus doi?” Vanecika Zalupin ridică mâna. Părintele Onufri: „Zalupin!” Vanecika se ridică: „Părinte, doi plus doi face douăzeci și șase.” Părintele Onufri: „Stai jos, Zalupin. Foarte rău. Doi plus doi face patru. Ei, în cel mai rău caz, cinci, hai, șase, hai, opt, ei, să zicem – doisprezece, la urma urmelor. Însă în niciun caz nu face douăzeci și șase, cap pătrat!”
După răspunsurile pe care le-am primit laproblema lui Casanova– și după comentariile făcute de cititori – s-ar zice că problema de data trecută ar trebui să primească cel puțin 6 stele din 5 ca nivel de dificultate.
Asta însă numai pentru cei ca Vanecika Zalupin – în realitate e vorba de o problemă mult mai simplă. O să ne convingem de asta când vom mai vedea variațiuni ale ei.
Cele două probleme de astăzi sunt destul de simple – cam 2 stele din 5 pentru cea cu monede și 1 din 5 pentru cea cu apă. Începem așadar cu apa, pentru încălzire.
Avem două găleți: una de 5 litri, alta de 3.
Trebuie să măsurăm, bineînțeles, 4. (Gălețile nu sunt gradate și avem apă la discreție, așa că, la nevoie, o putem arunca... S-a notat, sper, că cei 4 litri trebuie să se găsească în găleata de 5.)
Avem 27 de monede. 26 dintre ele au aceeași greutate, dar a 27-a este mai grea sau mai ușoară (nu știm exact cum).
Dacă avem la dispoziție doar o balanță, de câte cântăriri avem nevoie pentru a găsi moneda buclucașă și pentru a ști dacă e mai ușoară sau mai grea?Fie că aveți curiozitatea de a căuta rezolvări pe net – veți găsi cu siguranță niște variante –, fie că ați găsit deja răspunsul, continuați. Există cel puțin două moduri de rezolvare pentru fiecare dintre problemele date. Succes!
Comentariile, întrebările, propunerile, sugestiile, reclamațiile și calificativele sunt așteptate la viorel.zaicu@hotnews.ro.
Rezolvări
Apa
Una dintre soluții e aceasta: umpleți găleata de 5 litri și cu apa din ea o umpleți pe cea de 3 litri; aruncați apa din găleata mică; puneți cei 2 litri rămași din găleata mare în cea mică; umpleți din nou găleata de 5 litri și turnați din ea 1 litru în găleata mică; în felul ăsta, în găleata mare rămân fix 4 litri.
A doua soluție: umpleți găleata mică și turnați apoi apa din ea în găleata mare; umpleți din nou găleata mică și turnați apă din ea în cea mare până când aceasta din urmă se umple; în găleata de 3 litri rămâne un litru de apă; aruncați apa din găleata mare și puneți în ea litrul de apă; este deja evident că dacă umplem din nou găleata mică și turnăm apa în cea mare o să ajungem la cei 4 litri de apă pe care ni-i cerea problema. Simplu, nu?!
Monedele
Să trecem așadar la problema „complicată”... Răspunsul este „4 cântăriri”. Faptul că în anumite cazuri puteți descoperi moneda „falsă” din mai puține cântăriri este un accident.
Rezolvarea „clasică” este următoarea: împărțim cele 27 de monede în 3 grupe – A, B și C – de câte 9 monede. Punem în balanță grupa A cu grupa B, apoi A (sau B) cu C. Descoperim astfel, din două cântăriri, grupul în care se află moneda pe care o căutăm. (Cu ocazia asta aflăm și dacă este mai grea sau mai ușoară, pentru că două dintre grupuri au monede „bune”.
Prin urmare, dacă, de exemplu, grupul A atârnă mai greu decât B, putem ști la următoarea cântărire și grupul, și greutatea relativă a monedei căutate: dacă A și C sunt egale în greutate, moneda e în grupul B și este mai ușoară. Cealaltă variantă ar fi ca A să fie mai greu și decât C, așa că tragem concluzia că moneda căutată este în grupul A și este mai grea.)
De aici mai avem de făcut doi pași foarte simpli: luăm grupul în care se află moneda buclucașă și îl împărțim în 3 grupuri de câte 3 monede – să zicem A1, A2 și A3. Punem în balanță A1 și A2. Dacă sunt egale, luăm două monede din grupul A3 și le punem în balanță. Dacă și acestea sunt egale, înseamnă că buclucașa e moneda rămasă din grupul A3. Dacă balanța cu cele două monede alese din grupul A3 se înclină, știm care este moneda căutată. Dacă A1 și A2 nu sunt egale, se cheamă că am descoperit grupul de 3 în care se află moneda căutată. E suficient să punem în balanță două dintre ele și aflăm (după modelul de mai sus) care e moneda. În oricare dintre aceste variante avem nevoie de 4 cântăriri.
A doua soluție e puțin mai dezordonată, dar ne permite să ajungem variante în care nu e nevoie de toate cele 4 cântăriri (aspect altfel irelevant pentru răspunsul problemei). Formăm două grupuri de câte 8 monede – A și B. Dacă balanța rămâne în echilibru cu aceste două grupuri, moneda căutată se numără printre cele 11 rămase. Mai avem la dispoziție trei cântăriri, așa că putem proceda după bunul plac, împărțind monedele în două grupe de câte 5 (sau de câte 4), iar de aici înainte rezolvarea devine banală.
Dacă balanța nu se echilibrează (să zicem că monedele din grupul A sunt mai grele decât cele din grupul B), la a doua cântărire punem în balanță grupul A împărțit în două: câte 4 monede pe fiecare taler. Rezultă următoarele variante:
- balanță echilibrată; moneda căutată se află în grupul B și este mai ușoară; mai avem la dispoziție două cântăriri, așa că o putem determina foarte simplu (într-un singur mod!);
- balanță dezechilibrată; moneda se află printre cele 4 care atârnă mai greu; dat fiind că putem descoperi moneda buclucașă din două cântăriri într-un grup de 8, bănuiesc că nu va întâmpina nimeni probleme dacă încearcă să o descopere într-un grup de 4.
Până data viitoare vă puteți gândi la o variațiune mai frumoasă a problemei cu apa – avem o găleată de 5 și una de 4 și vrem să măsurăm 3 – și vă puteți măsura puterile cu o „clasică” a monedelor: avem 10 fișicuri de câte 10 monede, dintre care unul conține doar monede false, care atârnă la cântar cu două grame mai mult; cum puteți determina dintr-o singură cântărire (pe un cântar cu scală și a abatere de maxim 1 gram) care este fișicul cu monede false?
Mențiuni
Să dăm și soluția pentru problema suplimentară de data trecută. Problema suna așa: Avem două fitiluri care ard (inegal) 3 minute fiecare și o clepsidră de 8 minute. Cum se pot măsura 9 minute? Soluția simplă, mai ușor de găsit, este următoarea: se aprinde un fitil și se întoarce clepsidra; când fitilul s-a stins (au trecut 3 minute), întoarcem clepsidra din nou; când clepsidra s-a terminat (au mai trecut 3 minute) aprindem celălalt fitil; când a ars și acest fitil au trecut 9 minute.
Cititorul nostru Dinu Caragheorghe ne-a oferit însă o soluție mai greu de „văzut”, elegantă și demnă de un premiu special. Iat-o: întoarcem clepsidra și aprindem un fitil; când fitilul a ars complet, îl aprindem pe celălalt, de la ambele capete; când și acest fitil a ars complet, s-au scurs 4 minute și jumătate; nu trebuie decât să mai întoarcem o dată clepsidra – când nisipul ajunge tot în partea de jos au trecut 9 minute.
De asemenea, Sorin Nanu merită o mențiune specială pentru că a trimis răspunsul la problema cu Casanova comprimat în două rânduri.
Cititi si
Provocarea de logica a saptamanii: Herr Casanova
Provocarea de logica a saptamanii : Fitiluri și clepsidre
Provocarea de logica a saptamanii: Inviorati-va neuronii cu problema lui Einstein
1
6
