Provocarea de logica a saptamanii: 13 monede si niste precupeti (UPDATE cu rezolvarile)

de Viorel Zaicu     HotNews.ro
Sâmbătă, 9 iulie 2016, 10:30 Magazin

Provocarea de logica a saptamanii
Foto: Hotnews
Gogu a primit 13 monede, dar soacra i-a șutit una și a înlocuit-o cu alta identică, dar falsă, care se poate recunoaște doar pentru că este mai ușoară cu două grame. Un vecin are o balanță, dar îi cere lui Gogu o sticlă de țuică pentru fiecare cântărire cu balanța. Câte sticle de țuică trebuie să dea Gogu ca să afle care e moneda falsă? Dar în situația în careGogu nu știe dacă moneda falsă e mai ușoară sau mai grea?

Nu știu dacă a doua nucă este mai tare decât prima, dar sper că o să stabilească rezolvatorii... Se zice că un savant s-a dus în piață și, întâlnind patru precupeți, i-a întrebat:
- Ce zi e azi?
Cei patru i-au răspuns pe rând:
- Ieri a fost miercuri.
- Mâine e duminică.
- Azi e vineri.
- Alaltăieri a fost joi.
Nedumerit, savantul îi povestește pățania unui prieten, care știa ce zi este. Prietenul îi spune:
- Doi dintre ei au mințit.
Ce zi era?

Mențiuni

Le mulțumesc tuturor celor care au trimis răspunsuri și notări. Am primit destul de multe răspunsuri bune, deși problema cu înfometații s-a dovedit destul de grea. De altfel, a și primit o medie a notărilor pentru dificultate destul de mare: 3 din 5.Îi mulțumesc lui Mihai Negrea pentru verificarea problemelor.
Pentru o explicație elegantă la problema cu înfometații Matei Valentin, din Alexandria, primește volumul lui Martin Gardner, Cele mai îndrăgite jocuri matematice și logice.

NB: I-aș ruga pe cei care îmi trimit rezolvări prin e-mail să spună și cât de grea li se pare problema la care răspund (pe o scară de la 1 la 5). Mulțumesc. Comentariile, întrebările, propunerile, sugestiile și reclamațiile sunt așteptate la viorel.zaicu@hotnews.ro. Editura Paralela 45 sponsorizează gânditorii cu două titluri în fiecare săptămână: Boris Kordemski, 359 de probleme de matematică recreativă, și Martin Gardner, Cele mai îndrăgite jocuri matematice și logice. Premiile sunt oferite cititorilor care fie oferă o soluție originală (sau o explicație simplă și inedită) la problemele date, fie propun o problemă pe care n-am mai întâlnit-o (cel puțin nu în varianta respectivă). Nu vă străduiți să fiți originali cu orice preț – dacă sunt mai mulți câștigători o să fie și mai multe cărți!

Rezolvări

Monedele


Gogu scapă cu cel mult trei sticle de țuică. Există mai multe posibilități de a găsi moneda buclucașă, iar dacă are noroc Gogu poate scăpa și cu două sticle de țuică, ba chiar cu una în condițiile în care alege varianta de mai jos și are noroc. Se pun în balanță câte șase monede de fiecare parte. Dacă balanța rămâne în echilibru, Gogu știe că a treisprezecea monedă are probleme și scapă ieftin. Dacă nu, continuă cântăririle pe talerul care se dă de gol (rămâne ridicat), împărțind monedele în două grupuri de trei și cântărindu-le pe acestea. Din două cântăriri se poate găsi moneda buclucașă. Există, desigur, și posibilitatea de a lucra cu grupuri de câte patru sau cinci monede, însă în aceste cazuri Gogu nu are nicio șansă să scape doar cu o sticlă de țuică.

Dacă nu știe cum atârnă moneda falsă, Gogu poate scăpa printr-un mare noroc cu o sticlă de țuică (procedând la fel ca în primul caz), dar cel mai probabil trebuie să plătească trei sau patru sticle de țuică.  (Dacă pleacă însă de la grupuri de cinci riscă să ajungă la cinci sticle de țuică.) De pildă, dacă balanța se înclină de la prima cântărire, trebuie să aleagă unul dintre talere și să determine dacă acolo se află moneda falsă. Asta înseamnă o cântărire. Dacă talerele sunt în echilibru, se orientează către monedele de pe celălalt taler și din două cântăriri determină moneda buclucașă. De notat că dacă la a doua cântărire talerele nu sunt în echilibru Gogu știe deja dacă moneda pe care o caută este mai ușoară sau mai grea, dar tot de două cântăriri mai are nevoie.

Mincinoșii

Al doilea și al patrulea precupeț au răspuns, de fapt, că este sâmbătă. Dacă ar fi mințit amândoi, ar fi însemnat că ceilalți doi au spus adevărul. Or, ceilalți doi au spus lucruri diferite. Prin urmare, este sâmbătă.


Cititi si provocarile de logica din ultimele saptamani:

Cinci cercuri si doisprezece infometati
Doua usi si trei fesuri
Varza, Gogu si ceasurile
Varstele copiilor si spargatorii 
Caracatitele si propozitiile adevarate 
Bacteriile si lantul
Sfertul de cerc si melcii strategi
Cartofii-minune si pastilele salvatoare
Guguta, ciorba si puntea afurisita 
O cada de baie si 10 logicieni
Becuri si viteze
Bile, piulite si lacate
Apa si banii
Herr Casanova
Fitiluri și clepsidre
Inviorati-va neuronii cu problema lui Einstein


Citeste mai multe despre   











VIDEO "Metoda accidentul", aplicata timp de trei zile intr-o localitate din Iasi

O grupare periculoasa vrea sa foloseasca “metoda accidentul” pe scara larga: nu individual, ci la nivelul unui sat intreg.
4492 vizualizari
  • 0 (0 voturi)    
    Monede si precupeti (Sâmbătă, 9 iulie 2016, 13:02)

    klaus_cj [utilizator]

    a.Gogu are nevoie de maximum 3 cantariri:
    -1:plaseaza cate 6 monede pe talere, daca balanta e in echilibru a 13-a moneda e cea falsa, daca nu, trece la:
    -2: imparte grupul mai usor de 6 monede in doua grupe de cate 3, stabilind astfel care grupa de 3 e mai usoara, iar apoi, la
    -pasul 3 plaseaza cate o moneda pe talerele balantei, daca aceasta e dezechilibrata a gasit moneda falsa pe balanta, daca balanta e in echilibru moneda de pe margine e falsa.
    In cazul in care nu stie daca moneda falsa e mai grea sau mai usoara, va avea nevoie de o cantarire suplimentara:
    Constituie 3 grupuri a cate 4 monezi si face 2 cantariri, pastrand un grup pe un taler si schimbadu-le pe celalate 2 grupuri pe al doilea taler; daca e echilibru perfect, moneda falsa e cea razleata; daca nu, ramane cu un grup de 4 monede din care una e falsa, stiind si daca aceasta e mai grea sau mai usoara. Asa ca mai are nevoie de maximum 2 cantariri - pune cate o moneda pe talere si poate scapa cu trei sticle sau, daca nu, cu pretul a inca unei sticle, face inca o cantarire la cele 2 monede ramase si stabileste moneda falsa.

    2.Primul precupet minte - daca ieri a fost miercuri, azi ar fi joi, ceea ce i-ar face pe toti ceilalti trei mincinosi, si noi stim ca doar 2 mint.
    Al treilea si al patrulea precupet se contrazic direct (unul zice ca e vineri, altul sambata), prin urmare nu pot avea amandoi dreptate; nici nu e posibil ca amandoi sa minta, fiindca am avea in total 3 mincinosi. asta inseamna ca unul minte, unul spune adevarul, ceea ce, tinand cont si ca deja am stabilit ca primul minte, ne duce la concluzia ca al doilea spune adevarul, deci maine fiind duminica, azi e sambata.
  • +1 (1 vot)    
    Rezolvari + propunere (Sâmbătă, 9 iulie 2016, 15:03)

    xvlad [utilizator]

    Problema cu monede:

    Se cantaresc 6 cu 6; daca balanta este echilibrata, inseamna ca moneda falsa este cea ramasa. Daca nu, se afla printre cele 6 de pe talerul mai usor. Apoi se cantaresc 3 cu 3 din cele 6 printre care se afla moneda falsa si apoi 1 cu 1 dintre cele 3 de pe talerul mai usor, pentru un total de 3 cantariri.

    In situatia in care Gogu nu stie daca moneda falsa e mai grea sau mai usoara, procedeaza similar: 6 cu 6, apoi 3 cu 3 (pentru a doua cantarire alege, sa zicem, tot talerul mai usor; bineinteles, daca balanta este echilibrata dupa prima cantarire, atunci moneda falsa este a treisprezecea). Daca balata este echilibrata la a doua cantarire, atunci el stie ca moneda falsa este mai grea si se afla printre cele 6 necantarite a doua oara. De aici mai are nevoie de 2 cantariri (3 cu 3 si 1 cu 1). Daca balanta nu este echilibrata la a doua cantarire, atunci el stie ca moneda falsa este mai usoara si se afla printre cele 3 din talerul mai usor. Mai are nevoie de o singura cantarire pentru a o afla (1 cu 1). Rezulta un maxim de 4 cantariri, iar daca are noroc, una sau trei. Din acest motiv aceasta solutie este mai buna decat cea a lui klaus_cj (singurul comentariu aprobat pana acum) si sper mai buna si decat alte solutii: daca are noroc, plateste mai putin. In cazul solutiei mele, Gogu se asteapta sa plateasca 1/13 * 1 sticle + 12/13 * 1/2 * 3 sticle + 12/13 * 1/2 * 4 sticle = 3.3 sticle. Solutia lui klaus_cj presupune o plata asteptata de 1/13 * 2 + 12/13 * 4 = 3.84 sticle de tuica.

    Dificultate: 2 din 5

    Cu o mica modificare, aceasta problema poate deveni mult mai grea. Nu as vrea sa o scriu aici, dar nici nu am gasit adresa de mail unde poate fi trimisa.



    Problema cu ziua saptamanii:

    Problema este extrem de simpla (1 din 5): presupunem ca una din afirmatii este adevarata si vedem daca se respecta conditia ca restul sa fie doua false si una adevarata. Nu mai am spatiu in comentariu pt detalii, azi este sambata (2,4 adevarate 1,3 false)
  • 0 (0 voturi)    
    Rezolvare monede (Sâmbătă, 9 iulie 2016, 15:26)

    xvlad [utilizator]

    Aplicand aceiasi idee din comentariul meu de mai sus de minimizare a numarului asteptat de sticle platite, si pentru cazul in care stie ca moneda falsa este mai usoara exista o varianta mai buna decat cea propusa de mine mai sus in care cantareste 6 cu 6, apoi 3 cu 3 si 1 cu 1. Variata 66 33 11 costa 1/13*1 sticle + 12/13*3 sticle = 2.85 sticle (asta deoarece Gogu poate avea noroc si in 1/13 din cazuri balanta este echilibrata dupa prima cantarire). Aceasta este probabil varianta cea mai simpla si mai intuitiva pentru un maxim de 3 sticle platite fara a lua in calcul norocul.

    Varianta mai buna este: cantareste 3 cu 3; daca balanta nu este echilibrata, stie ca moneda falsa este printre cele 3 de pe talerul mai usor. De aici mai are nevoie de o cantarire. Daca balanta este echilibrata, stie ca se afla intre cele 7 necantarite prima data; mai cantareste 3 cu 3; aici are o sansa de 1/7 ca balanta sa fie echilibrata si, deci, moneda falsa sa fie cea necantarita; in restul de 6/7 cazuri, balanta nu a fost echilibrata dupa a aceasta a doua cantarire si, prin urmare, mai are nevoie de o cantarire pentru a o depista dintre cele 3 de pe talerul mai usor. Costul asteptat este: 6/13 * 2 sticle + 7/13 * 1/7 * 2 sticle + 7/13 * 6/7 * 3 sticle = 2.46 sticle.

    Cred ca asta este solutia optima, nu pot demonstra asta, dar am verificat si alte variante (incep prin a cantari 5 cu 5 sau 4 cu 4) insa acestea imi ies mai scumpe (2.68 respectiv 2.54 sticle)
  • 0 (0 voturi)    
    rezolvari (Sâmbătă, 9 iulie 2016, 16:38)

    VladBerliba1 [anonim]

    1 sau 3 cantariri si 1 sau 3 sticle de tuica. Pune 6 monede intr-un taler si sase in celalalt. Daca se eschlibreaza moneda a 13-a e cea cu greutate diferita. Altfel monedele mai usoare sunt impartite in doua si recantarite. La a 3-a cantarire mai are 3 monede din care cantareste doua. Daca talerele se echilibreaza moneda e cea care nu e in talere, altfel moneda e cea de pe talerul ridicat.

    Sambata e ziua. Se face prin excludere de la valoarea de adevar. Azi e vineri si ieri a fost miercuri nu sunt adevarate.
  • 0 (0 voturi)    
    solutie pb 2 (Sâmbătă, 9 iulie 2016, 19:35)

    _eu_ [utilizator]

    Problema 2 se transcrie asa:

    alaltaieri - joi
    ieri - miercuri
    azi - vineri
    maine - duminica

    Singura posibilitate ca raspunsurile sa corespunda zilelor saptamanii este alaltaieri - joi, maine duminica. Asadar, azi e sambata! (*coinicdenta)
  • 0 (0 voturi)    
    3 cantariri fara sa stie cum e cea falsa (Sâmbătă, 9 iulie 2016, 23:05)

    Mircha [utilizator]

    S=stanga D=dreapta balantei J=jos

    1) S:4 D:4 J:5

    2a)Daca balanta e inegala avem 4 grele, 4 usoare si 5 bune.
    Punem:S:2grele+1usoara, D:2grele+1usoara J:2usoare+5 bune

    3aa) Daca balanta e iar inegala avem 2 grele, 1 usoara si 10 bune.
    Punem: S:1grea, D:1grea, J:1 usoara+10bune
    Daca balanta e inegala partea grea e falsa
    Daca balanta e egala e falsa cea usoara de jos

    3ab) Daca balanta e egala avem 2 usoare si 11 bune
    Punem: S:1usoara, D:1usoara, J:11bune
    Daca balanta e egala cea usoara e falsa

    2b)Daca balanta e egala avem 5 necunoscute si 8 bune.
    Punem:S:2necunoscute, D:1necunoscuta+1buna J:7bune + 2necunoscute

    3ba) Daca talerul cu cea buna e usor avem 2 grele, 1 usoara, 10 bune
    Punem: S:1grea, D:1grea, J:1 usoara+10bune
    daca balanta e egala cea usoara de jos e falsa,
    daca nu cea care atarna mai greu e falsa

    3bb) Daca talerul cu cea buna e greu avem 2 usoare, 1 grea, 10 bune
    Punem: S:1usoara, D:1usoara, J:1 grea+10bune
    daca balanta e egala cea grea de jos e falsa,
    daca nu cea care atarna mai usor e falsa

    3bc) Daca balanta e egala cea usoara de jos e falsa
  • 0 (0 voturi)    
    balanta: cheia este cantarirea in grupe de 4, nu 6 (Duminică, 10 iulie 2016, 7:51)

    gigel de luxembourg [utilizator]

    sunt nevoie de 3 cantariri , indiferent daca se stie ca moneda este mai grea sau mai usoara. diferenta majora este ca trebuie grupate monedele in grupe de cate 4 nu de cate 6, cum au facut pana acum ceilalti pe aici. (se imparte numarul monedelor la 3)

    cantarirea 1:
    1. stanga=1,2,3,4 vs dreapta= 5,6,7,8
    1.1: daca stanga > dreapta poate fi fie pt ca o bila din stanga este mai grea fie ca o moneda din dreapta este mai usoara.


    1.1.1
    se grupeaza 1,2,3,5 vs 4,x,x,x (unde x este o moneda sigur buna, din grupul celor ramase)
    daca stanga > dreapta stim ca avem o moneda mai grea (poate fi 1, 2 sau 3). in cazul asta se vor compara 1 cu 2 si daca 1>2 e clar 1 altfel e 2, daca 1=2 atunci este 3.

    1.1.2 daca stanga < dreapta atunci avem fie moneda 4 mai grea fie moneda 5 mai usoara. in cazul asta vom compara moneda 4 cu o moneda x. daca sunt egale avem clar 5, altfel avem 4.

    1.1.3 daca stanga=dreapta inseamna ca moneda diferita este una dintre cele 3 ramase afara (6,7,8) si mai si stim ca avem o moneda mai usoara. se compara 6 cu 7, daca sunt egale e 8 daca nu avem moneda mai usoara dintre cele 2.


    2. Daca insa in cazul cantaririi 1 nu avem diferenta de balanta ci sunt egale inseamna ca moneda diferita este una dintre celelalte 5 ramase. le vom nota mai jos cu 1,2,3,4,5 iar cu x o moneda sigur buna

    2. vom compara 1, 2, 3 cu 4, x , x
    2.1 daca sunt egale moneda diferita este 5
    2.1 daca stanga < dreapta avem fie 4 mai grea fie una dintre 1, 2, 3 mai usoara caz in care vom compara 1 cu 2, fie aflam ca sunt egale (caz in care avem moneda 3) fie aflam care-i mai usoara dintre ele.
  • 0 (0 voturi)    
    maxim 3 cantariri fara sa stie cum e cea falsa (Duminică, 10 iulie 2016, 11:26)

    Caradinu [utilizator]

    Se noteaza monedele de la 1 la 13.

    1. Se cantaresc monedele 1-4 cu 5-8
    Daca sunt egale, monedele 1-8 sunt adevarate:

    2. Se cantaresc monedele 9-11 cu 1-3 (care stim ca sunt adevarate)
    Daca sunt egale, monedele 1-11 sunt adevarate:
    3. Se cantareste moneda 12 cu 1 (care stim ca e adevarata)
    Daca sunt egale, atunci moneda falsa este 13, insa fara a sti daca e mai grea sau mai usoara, dar nu conteaza.
    Daca nu sunt egale, atunci moneda 12 e cea falsa

    Daca nu sunt egale, atunci vom sti ca una din monedele 9-11 e falsa si ca e mai grea sau mai usoara in functie de cum arata balanta cu cele adevarate. (sa presupunem ca mai usoara)
    3. Se cantareste moneda 9 cu 10
    Daca sunt egale, atunci moneda 11 e falsa
    Daca nu sunt egale, atunci cea falsa e conform cu ce am aflat mai sus (cea mai usoara)

    Daca nu sunt egale, atunci inseamna ca 9-13 sunt adevarate
    2. CHEIA Problemei - Se cantaresc monedele 1,2,3,5 pe o parte a balantei si monedele 4,9,10,11 pe cealalta
    Daca sunt egale, atunci moneda falsa e intre 6,7,8 si stim daca e mai grea sau mai usoara ,de la prima cantarire. Prin a treia cantarire, la fel ca la 9-11 se va afla cea falsa.
    Daca balanta s-a inclinat in partea opusa primei cantariri, moneda falsa este 4 sau 5. (de ex, daca la prima cantarire, balanta a fost mai grea la monedele 1-4, iar la a doua balanta a fost mai usoara la monedele 1,2,3,5) . La a treia cantarire se va cantari moneda 4 cu una adevarata. Daca sunt egale, moneda 5 e cea falsa altfel moneda 4 e cea falsa.
    Daca balanta s-a inclinat in aceeasi parte, atunci moneda falsa e intre 1,2,3 si stim daca e mai grea sau mai usoara ,de la prima cantarire. Prin a treia cantarire, la fel ca la 9-11 se va afla cea falsa.


Abonare la comentarii cu RSS

Top 5 articole cele mai ...



Hotnews
Agenţii de ştiri

Siteul Hotnews.ro foloseste cookie-uri. Cookie-urile ne ajută să imbunatatim serviciile noastre. Mai multe detalii, aici.
hosted by
powered by
developed by
mobile version