Pentru încălzire avem astăzi o problemă de geometrie simplă, care nu implică formule ori cunoștințe deosebite. În figura de mai jos avem cinci cercuri intersectate simetric. Cele patru arii de intersecție sunt egale și au valoarea 5 (fiecare). Dacă trasăm o dreaptă din punctul cel mai de sus al primului cerc până la punctul cel mai de jos al celui de-al cincilea cerc se formează o suprafață ca cea gri din imagine, care are valoarea 35. Care este aria unui cerc?
Figura 5 cercuri
Foto: Hotnews
Nuca tare de azi e cu înfometați, dar cine vrea poate să-i facă și deținuți, marțieni etc. Zice că doisprezeceexploratori cărora le e foarte foame ajung la un han. Poznaș, hangiul se oferă să le dea mâncare numai dacă rezolvă un test, și le spune regulile testului: se stinge lumina, fiecăruia i se așază pe cap o pălărie albă sau neagră, apoi sunt aliniați în șir indian, în așa fel încât, după ce se aprinde lumina, ultimul să îi vadă ce ceilalți unsprezece în față iar primul să vadă un perete. Distanța dintre ei e mai mare decât o lungime de braț, deci nu se pot atinge. În aceste condiții pot spune doar „Albă” sau „Neagră”, numind astfel fiecare culoarea pălăriei pe care o are pe cap.Toți aud ce spun ceilalți și nu există alt mijloc de comunicare. Cine greșește nu primește de mâncare. Au voie să pornească de la ultimul înfometat sau de la primul – își aleg. Iar hangiul, generos, le oferă 10 minute timp de gândire înainte de începerea testului. Câți oameni pot mânca și cum trebuie să procedeze?
Mențiuni
Le mulțumesc tuturor celor care au trimis răspunsuri și notări. Am primit foarte multe răspunsuri bune și am văzut și în comentariile din pagina articolului foarte multe răspunsuri bune, deși una dintre probleme – cea cu fesurile – a primit o medie a notărilor pentru dificultate destul de mare: 3 din 5.Îi mulțumesc lui Mihai Negrea pentru verificarea problemelor.
Pentru o explicație elegantă și originală la problema cu fesurile Andrei Lucuță, din Galați, primește volumul lui Boris Kordemski, 359 de probleme de matematică recreativă.
NB: I-aș ruga pe cei care îmi trimit rezolvări prin e-mail să spună și cât de grea li se pare problema la care răspund (pe o scară de la 1 la 5). Mulțumesc. Comentariile, întrebările, propunerile, sugestiile și reclamațiile sunt așteptate la viorel.zaicu@hotnews.ro. Editura Paralela 45 sponsorizează gânditorii cu două titluri în fiecare săptămână:Boris Kordemski, 359 de probleme de matematică recreativă, șiMartin Gardner, Cele mai îndrăgite jocuri matematice și logice. Premiile sunt oferite cititorilor care fie oferă o soluție originală (sau o explicație simplă și inedită) la problemele date, fie propun o problemă pe care n-am mai întâlnit-o (cel puțin nu în varianta respectivă). Nu vă străduiți să fiți originali cu orice preț – dacă sunt mai mulți câștigători o să fie și mai multe cărți!
- Rezolvări:
Cercurile
18. Observăm că aria colorată este egală cu suprafața a două cercuri și jumătate (zona inferioară din primul cerc se completează cu cea din al cincilea, iar cea din al doilea cu cea din al patrulea) din care scădem două arii de intersecție (compuse prin aceeași tactică de completare), pentru că sunt suprapuse. Rezultă că aria a două cercuri și jumătate este egală cu 45, deci aria unui cerc este 18.
Înfometații
Este suficient ca unul dintre înfometați să judece limpede și să le expună și celorlalți strategia: ultimul din șir o să spună primul ce culoare are pălăria lui, numai că nu o s-o facă ghicind, ci după strategia stabilită. Are în față unsprezece pălării de două culori (variantele extreme în care toate sunt albe sau negre nu anihilează strategia!), așa că, în orice combinație, există un număr impar de pălării – albe sau negre. Ultimul înfometat trebuie să spună tocmai culoarea pălăriilor din fața lui care sunt în număr impar. El are 50% șanse să mănânce, dar cei din fața lui pot mânca toți, fiindcă au o informație esențială, care îi ajută să deducă foarte simplu ce culoarea are propria pălărie. De exemplu, al unsprezecelea din șir trebuie să procedeze astfel: dacă vede în față un număr par de pălării în culoarea spusă de ultimul din șir, înseamnă că pălăria lui are acea culoare; dacă acest număr este impar, înseamnă că pălăria are cealaltă culoare. Se presupune, bineînțeles, că cei din față țin minte (pot număra pe degete una dintre culori) și ce au spus ceilalți colegi, așa încât să țină evidența numărului de pălării care afost la început impar.Așadar, din enunțul ultimului înfometat se ia în calcul doar culoarea – nu se și numără, pentru că o să se afle abia la sfârșit ce culoare avea de fapt pălăria lui, iar pălăriile de culoarea respectivă care contează sunt ale primilor unsprezece –, pe când din ale celorlalți se ia în calcul evoluția numărului de pălării de acea culoare. (De exemplu, dacă ultimul a spus „Neagră”, iar al patrulea înfometat vede în fața lui două pălării negre și mai are numărate pe degete încă două – printre care nu se numără și a ultimului! –, trebuie să-i fie clar că are pe cap o pălărie... neagră!)
Cititi si provocarile de logica din ultimele 10 saptamani:
Varstele copiilor si spargatorii
Caracatitele si propozitiile adevarate
Sfertul de cerc si melcii strategi
Cartofii-minune si pastilele salvatoare
Guguta, ciorba si puntea afurisita
0
3
