Provocarea de logica a saptamanii: Cinci cercuri si doisprezece infometati (UPDATE cu rezolvarile)

de Viorel Zaicu     HotNews.ro
Sâmbătă, 2 iulie 2016, 11:06 Magazin

Provocarea de logica a saptamanii
Foto: Hotnews
Pentru încălzire avem astăzi o problemă de geometrie simplă, care nu implică formule ori cunoștințe deosebite. În figura de mai jos avem cinci cercuri intersectate simetric. Cele patru arii de intersecție sunt egale și au valoarea 5 (fiecare). Dacă trasăm o dreaptă din punctul cel mai de sus al primului cerc până la punctul cel mai de jos al celui de-al cincilea cerc se formează o suprafață ca cea gri din imagine, care are valoarea 35. Care este aria unui cerc?

Figura 5 cercuri
Foto: Hotnews







Nuca tare de azi e cu înfometați, dar cine vrea poate să-i facă și deținuți, marțieni etc. Zice că doisprezeceexploratori cărora le e foarte foame ajung la un han. Poznaș, hangiul se oferă să le dea mâncare numai dacă rezolvă un test, și le spune regulile testului: se stinge lumina, fiecăruia i se așază pe cap o pălărie albă sau neagră, apoi sunt aliniați în șir indian, în așa fel încât, după ce se aprinde lumina, ultimul să îi vadă ce ceilalți unsprezece în față iar primul să vadă un perete. Distanța dintre ei e mai mare decât o lungime de braț, deci nu se pot atinge. În aceste condiții pot spune doar „Albă” sau „Neagră”, numind astfel fiecare culoarea pălăriei pe care o are pe cap.Toți aud ce spun ceilalți și nu există alt mijloc de comunicare. Cine greșește nu primește de mâncare. Au voie să pornească de la ultimul înfometat sau de la primul – își aleg. Iar hangiul, generos, le oferă 10 minute timp de gândire înainte de începerea testului. Câți oameni pot mânca și cum trebuie să procedeze?

Mențiuni

Le mulțumesc tuturor celor care au trimis răspunsuri și notări. Am primit foarte multe răspunsuri bune și am văzut și în comentariile din pagina articolului foarte multe răspunsuri bune, deși una dintre probleme – cea cu fesurile – a primit o medie a notărilor pentru dificultate destul de mare: 3 din 5.Îi mulțumesc lui Mihai Negrea pentru verificarea problemelor.
Pentru o explicație elegantă și originală la problema cu fesurile Andrei Lucuță, din Galați, primește volumul lui Boris Kordemski, 359 de probleme de matematică recreativă.

NB: I-aș ruga pe cei care îmi trimit rezolvări prin e-mail să spună și cât de grea li se pare problema la care răspund (pe o scară de la 1 la 5). Mulțumesc. Comentariile, întrebările, propunerile, sugestiile și reclamațiile sunt așteptate la viorel.zaicu@hotnews.ro. Editura Paralela 45 sponsorizează gânditorii cu două titluri în fiecare săptămână: Boris Kordemski, 359 de probleme de matematică recreativă, și Martin Gardner, Cele mai îndrăgite jocuri matematice și logice. Premiile sunt oferite cititorilor care fie oferă o soluție originală (sau o explicație simplă și inedită) la problemele date, fie propun o problemă pe care n-am mai întâlnit-o (cel puțin nu în varianta respectivă). Nu vă străduiți să fiți originali cu orice preț – dacă sunt mai mulți câștigători o să fie și mai multe cărți!

  • Rezolvări:

Cercurile

18. Observăm că aria colorată este egală cu suprafața a două cercuri și jumătate (zona inferioară din primul cerc se completează cu cea din al cincilea, iar cea din al doilea cu cea din al patrulea) din care scădem două arii de intersecție (compuse prin aceeași tactică de completare), pentru că sunt suprapuse. Rezultă că aria a două cercuri și jumătate este egală cu 45, deci aria unui cerc este 18.

Înfometații

Este suficient ca unul dintre înfometați să judece limpede și să le expună și celorlalți strategia: ultimul din șir o să spună primul ce culoare are pălăria lui, numai că nu o s-o facă ghicind, ci după strategia stabilită. Are în față unsprezece pălării de două culori (variantele extreme în care toate sunt albe sau negre nu anihilează strategia!), așa că, în orice combinație, există un număr impar de pălării – albe sau negre. Ultimul înfometat trebuie să spună tocmai culoarea pălăriilor din fața lui care sunt în număr impar. El are 50% șanse să mănânce, dar cei din fața lui pot mânca toți, fiindcă au o informație esențială, care îi ajută să deducă foarte simplu ce culoarea are propria pălărie. De exemplu, al unsprezecelea din șir trebuie să procedeze astfel: dacă vede în față un număr par de pălării în culoarea spusă de ultimul din șir, înseamnă că pălăria lui are acea culoare; dacă acest număr este impar, înseamnă că pălăria are cealaltă culoare. Se presupune, bineînțeles, că cei din față țin minte (pot număra pe degete una dintre culori) și ce au spus ceilalți colegi, așa încât să țină evidența numărului de pălării care afost la început impar.Așadar, din enunțul ultimului înfometat se ia în calcul doar culoarea – nu se și numără, pentru că o să se afle abia la sfârșit ce culoare avea de fapt pălăria lui, iar pălăriile de culoarea respectivă care contează sunt ale primilor unsprezece –, pe când din ale celorlalți se ia în calcul evoluția numărului de pălării de acea culoare. (De exemplu, dacă ultimul a spus „Neagră”, iar al patrulea înfometat vede în fața lui două pălării negre și mai are numărate pe degete încă două – printre care nu se numără și a ultimului! –, trebuie să-i fie clar că are pe cap o pălărie... neagră!)

Cititi si provocarile de logica din ultimele 10 saptamani:


Doua usi si trei fesuri
Varza, Gogu si ceasurile
Varstele copiilor si spargatorii 
Caracatitele si propozitiile adevarate 
Bacteriile si lantul
Sfertul de cerc si melcii strategi
Cartofii-minune si pastilele salvatoare
Guguta, ciorba si puntea afurisita 
O cada de baie si 10 logicieni
Becuri si viteze




Citeste mai multe despre   



















6518 vizualizari
  • +3 (3 voturi)    
    cercuri si infometati (Sâmbătă, 2 iulie 2016, 12:29)

    tropojo [utilizator]

    Cercurile

    Daca cercurile sunt dispuse simetric, iar dreapta uneste cel mai inalt punct cu cel mai de jos punct, inseamna ca imparte suprafata in jumatate.
    Suprafata totala a cercurilor intersectate este
    35 x 2 = 70
    Suprafata celor 5 cercuri distincte este
    70 + 5 x 4 = 70 + 20 = 90
    Fiecare cerc are o arie de 90 / 5 = 18.

    1/5

    Infometatii

    Pot manca cel putin 6 oameni.
    Se incepe de la Ultimul infometat cel care ii vede pe toti din fata lui.
    Ultimul va spune culoarea palariei celui din fata lui (Penultimul).
    Penultimul va repeta ce a spus anteriorul (Ultimul).
    AntePenultimul va spune culoarea palariei celui din fata lui (AnteAntePenultimul).
    AnteAntePenultimul va repeta ce a spus anteriorul (AntePenultimul).
    In felul acesta cel putin jumatate dintre exploratori vor manca cu siguranta.

    Ar mai putea fi o varianta in care fiecare explorator atunci cand spune culoarea palariei pe care o poarta pe cap sa spuna si un indiciu pentru urmatorul.
    Astfel, ultimul neavand nici un indiciu va spune culoarea palariei penultimului.
    Penultimul, stie care e culoarea palariei lui precum si a celui din fata sa (antepenultimul).
    Daca culoarea palariei lui coincide cu culoarea palariei celui din fata sa poate sa pronunte normal alba sau neagra.
    Daca in schimb culoarea palariei lui difera de culoarea palariei celui din fata sa poate sa pronunte alba sau neagra in mod diferit (fie schimband accentul pe cealalta vocala sau prelungind ultima vocala) in acest fel semnalizandu-i celui din fata sa ca are o palarie de culoare diferita de a sa.
    Si tot asa.
    Cel putin 11 dintre exploratori vor manca, iar cu 50% sanse apuca sa manance si ultimul.

    3/5
  • +2 (2 voturi)    
    Rezolvari (Sâmbătă, 2 iulie 2016, 13:20)

    CipE [utilizator]

    Salutari din KL,

    1. Suprafata totala a figurii este dublul suprafetei gri, deci 70 de unitati. Aria totala a celor 5 cercuri este suprafata totala figurii + aria zonelor de intersectie, deci 70 + 4*5 = 90 de unitati. In concluzie, suprafata uni singur cerc e 90/5= 18 unitati.

    Dificultate 1/5

    2. 11 Exploratori pot manca. (Este posibil ca toti 12 sa manance, dar depinde de sansa. De asemenea presupunem ca nu-si pot afla culoarea propriei palarii decat prin deductii logice.)

    Ii numerotam de la 1 la 12, ultimul fiind cel care sta cu fata la perete, si primul fiind cel care ii vede pe toti ceilalti 11. Palaria primului explorator nu poate fi vazuta de nici unul dintre ceilalti, in consecinta daca el va manca sau nu depinde doar de sansa.

    Exploratorii agreeaza urmatorul protocol:
    1. Primul explorator va raporta "Alba" daca vede un numar impar de palarii Albe si "Neagra" daca vede un numar par de palarii albe pe capetele colegilor de la 2 la 12.
    2. Al doilea explorator va numara si el palariile albe de la 3 la 12. Numarul obtinut poate diferi cu cel mult o unitate de numarul obtinut de primul explorator. Daca numarul obtinut are o paritate diferita de cea raportata de primul explorator, este evident ca al doilea explorator poarta o palarie alba. Daca numarul obtinut are aceeasi paritate cu cel raportat de primul explorator, el poarta cu siguranta o palarie neagra. El poate deci deduce daca poarta o palarie "Alba" sau "Neagra" si va primi de mancare.
    3. Exploratorul N numara palariile albe ale exploratorilor aflati intre el si perete. El va aduna la acest numar palariile albe raportate de exploratorii dinaintea sa, incepand cu exploratorul numarul 2.
    Comparand paritatea numarului obtinut cu paritatea raportata de exploratorul 1, el poate afla culoarea propriei palarii(Neagra, daca paritatile coincid,altfel Alba) si va primi de mancare.

    Dificultate 4/5
  • +1 (1 vot)    
    Nice one (Sâmbătă, 2 iulie 2016, 14:53)

    Orpheus [utilizator]

    10
  • +1 (1 vot)    
    hmmm (Sâmbătă, 2 iulie 2016, 15:36)

    ..13 [utilizator]

    1, sa fie 17,5??? Cert este ca dublul lui 35, adica 70 reprezinta aria integrala a cercurilor intersectate simetric... ceea ce nu stiu sigur ci doar imi place sa presupun este modul in care se interesecteaza aceste cercuri - deci tot ceea ce am scris despre aria cercului este o mare banuiala - raspunsul xact cred ca este nu se poate determina dar ar putea sa fie cumva mai mare de 17 - 17,5...

    2. cel care vede perete vorbeste si spune orice - dupa ce comunica culoarea isi scoate palaria si o trece catre urmatorul - care vede culoarea palariei isi scoate propria palarie si o trece urmatorului dar are grija sa spun culoare noii sale palarii pe care o pune pa cap- palaria preluata de la cel din fata sa. In felul acesta cel putin 11 raspunsuri sunt exacte...

    Distanta dintre ei este mai mica de un brat dar pentru a trece de la unul la altul o palarie este nevoie de o distanta de 2 brate si un cap de palarie - deci se poate trece palaria de la o persoana la alta.
  • 0 (0 voturi)    
    Cinci cercuri si doisprezece infometati (Sâmbătă, 2 iulie 2016, 15:59)

    albert zweistein [utilizator]

    Cinci cercuri: Dreapta oblica imparte figura compusa din cele 5 cercuri intersectate, in 2 arii egale datorita simetriei. Explicatie: daca desenam dreptughiul care are aceasta dreapta ca diagonala, vor rezulta in parti 2 semicercuri. Aria zonei gri este egala cu ½ din aria dreptunghiului plus ½ din suprafata unui cerc minus cele 4 arii egale de jos, rezultate din intersectia cercurilor cu latura de jos a dreptunghiului. Deci zona gri este egala cu zona alba de deasupra, prin urmare aria totala a figurii este 2x35=70. Pentru a afla aria unui cerc, vom aduna la aria totala a figurii inca 4 arii de intersectie dintre cercuri care lipsesc pentru a obtine 5 arii de cerc si vom imparti rezultatul la 5 pentru a afla aria unui cerc: 70+4x5=90:5=18. Grad de dificultate 2/5

    Doisprezece infometati: Cei 12 exploratori stabilesc urmatoarea strategie: vor incepe de la ultimul infometat catre primul de la perete. Fiecare va spune cand ii va veni randul, culoarea palariei celui din fata.

    Primul va manca daca are aceeasi culoare a palariei cu cel din fata. Probabilitatea este egala cu raportul dintre numărul de cazuri favorabile și numărul de cazuri posibile, deci va avea P=1/2= 0,5= 50% sanse sa manance.
    Al doilea va spune culoarea spusa de cel din spate. Deci va manca. 100% sanse
    Al treilea va manca daca are aceeasi culoare a palariei cu cel din fata. 50% sanse
    Al patrulea va spune culoarea spusa de cel din spate. Deci va manca. 100% sanse
    etc
    Deci in final 6 exploratori vor manca sigur si inca 6 vor avea 50% sansa sa manance, cu conditia ca palaria lor sa aibe aceeasi culoare cu palaria celui din fata. Fiind o strategie intre un grup de prieteni, mergand pe cazul cel mai defavorabil de a primi 6 portii de mancare, la final vor imparti jumi-juma fiecare portie pentru a manca si ceilalti 6. Grad de dificultate 4/5
  • +2 (2 voturi)    
    Cinci cercuri (Sâmbătă, 2 iulie 2016, 16:18)

    CetateanLogat [utilizator]

    Suprafata totala ocupata de cele 5 cercuri atunci cand sunt suprapuse este 70 (35*2). Pentru a afla suprafata totala a celor 5 cercuri atunci cand nu sunt suprapuse, la acesta suprafata vom aduna suprafata celor patru arii de intersectie, adica 20 (5*4). Rezulta ca suprafata totala a celor 5 cercuri atunci cand nu sunt suprapuse este 90 (70+20). Rezulta ca aria unui cerc este 18 (90/5).
  • +2 (2 voturi)    
    Doisprezece infometati (Sâmbătă, 2 iulie 2016, 16:27)

    CetateanLogat [utilizator]

    Vor putea sa manance cel putin 11 oameni din cei 12. Vor proceda astfel:

    In cele 10 minute de gandire dinaintea inceperii testului se vor consulta si vor stabili urmatoarele reguli:

    1. Vor raspunde pe rand, incepand de la ultimul din sirul indian (il vom numi Nr.12). Astfel, fiecare om va vedea culoarea palariei celui care urmeaza sa raspunda dupa el (adica celui din fata lui).

    2. Nr.12 va pronunta numele culorii pe care o vede la Nr.11.

    3. Nr.11 va stii de la Nr.12 (adica de la predecesorul sau) ce culoare are propria palarie, asa ca va da raspunsul corect. Totusi, acesta va putea sa raspunda fara intarziere (imediat dupa ce aude raspunsul predecesorului sau), sau va putea sa raspunda cu intarziere (intarziere suficienta, pentru a nu exista confuzii).

    4. Un raspuns dat fara intarziere ii indica succesorului (adica lui Nr.10 in cazul lui Nr.11) ca acesta are o palarie de aceeasi culoare cu a lui (adica palaria lui Nr.10 este de aceeasi culoare cu palaria lui N.11), in timp ce un raspuns dat cu intarziere ii indica succesorului ca acesta are o palarie de culoare diferita de a lui. In acest fel, succesorul va sti exact ce culoare are propria palarie.

    Pe scurt, deoarece exista doar 2 variante de raspuns ("Alba" sau "Neagra"):
    - Daca eu raspund fara intarziere, urmatorul va trebui sa dea acelasi raspuns ca si mine.
    - Daca eu raspund cu intarziere, urmatorul va trebui sa raspunda invers fata de mine.

    5. Incepand cu Nr.11 (care stie de la Nr.12 ce culoare are propria palarie), toti oamenii vor aplica regula stabilita la punctul 4. Astfel, toti vor da raspunsuri corecte. Singurul care are doar 50% sanse sa raspunda corect este Nr.12 (primul care raspunde, indicand culoarea palariei lui Nr.11).

    Concluzie:

    - Daca culoarea palariei lui Nr.11 este diferita de cea a lui Nr.12, atunci vor exista 11 raspunsuri corecte.

    - Daca culoarea palariei lui Nr.11 este aceeasi ca cea a lui Nr.12, atunci vor exista 12 raspunsuri corecte.
  • 0 (0 voturi)    
    cercuri si infometati (Sâmbătă, 2 iulie 2016, 17:00)

    albert zweistein [utilizator]

    Cinci cercuri
    Linia oblica imparte figura in 2 suprafete egale prin simetrie.Desenam dreptughiul care are aceasta linie drept diagonala, rezultand cate un semicerc in laterale.Aria gri este egala cu ½ din aria dreptunghiului plus ½ din suprafata unui cerc minus 4 suprafete egale ce rezulta din intersectia cercurilor cu dreptunghiul.Deci zona gri este ½ din aria figurii, atunci aria figurii va fi 70. Se aduna la aria totala, 4 arii de intersectie pentru a obtine 5 arii de cerc 70+20=90.Aria unui cerc este o cincime din aceasta valoare: 90:5=18. Dif 1/5

    12 infometati: Cei 12 exploratori stabilesc o anume strategie.Vor incepe de la ultimul infometat catre primul aflat de la perete. Primul explorator (nr.12) se va uita atent la culorile palariilor urmatorilor 2 din fata (nr.11 si nr.10) si va spune cu glas tare culoarea palariei celui din fata lui, dar in 2 moduri diferite de pronuntie:
    1.Daca culoarea palariei exploratorului nr.10 este diferita de culoarea palariei exploratorului nr.11, atunci va spune culoarea palariei nr.10, prununtand normal (Alba sau Neagra).
    2.Daca culoarea palariei exploratorului nr.10 este la fel cu a palariei nr.11, va pronunta culoarea palariei nr.10 prelungind ultima vocala.(Albaa sau Neagraa).
    Astfel va transmite mesaje pentru ambii exploratori (nr.11 si nr.10).
    -In concluzie, nr. 11 va sti exact culoarea palariei sale si o va spune cu glas tare.Deci va manca.
    -Nr 10 va spune aceeasi culoare cu palaria nr.11 daca nr.12 a pronuntat culoarea prelung sau culoarea opusa, daca exploratorul nr.12 a pronuntat culoarea in mod normal.Deci si nr.10 va manca.

    La fel, va proceda urmatorul grup de 3, apoi urmatorul de 3 si la final ultimul grup de 3.Deci din fiecare grup de 3 vor manca cate 2 exploratori, iar primul are sanse 50% sa manance daca culoarea palariei celui din fata coincide cu a sa. In total mananca 8 exploratori iar ceilalti 4 au sanse 50%. In enunt nu se specifica ca exploratorii nu au voie sa pronunte cuvintele prelung. Dif 3/5
  • 0 (0 voturi)    
    Cercuri (Duminică, 3 iulie 2016, 1:01)

    Trompel [utilizator]

    Suma tuturor cercurilor: 70+8x5 = 110

    Aria unui cerc: 110/5 = 22

    2/5
  • 0 (0 voturi)    
    Cercurile (Duminică, 3 iulie 2016, 9:01)

    tragaci [utilizator]

    Având in vedere ca aria (deși in cerințe nu este specificat așa ceva, ci doar valoarea) cercurilor suprapuse este 35*2=70. Iar ariile de intersecție au valoarea 5, putem deduce ca, ariile de intersecție, odată ce nu vor mai gi intersectate, vor avea aceeași valoare(5), pentru fiecare cerc in parte, iar pentru cele 3 cercuri din interior, valoarea 10.
    Așadar, avem:
    1) 35*2=70
    2) De la stânga la dreapta: cercul 1 are doar o parte intersectată=>ca rămâne cu o valoare de 5
    3) Cercul 2 rămâne cu doua valori de 5=>10
    4) cercul 3 idem cerc 2 =>10
    5) Cercul 4 idem cerc 2 => 10
    6) Cercul 5 idem cerc 1 => 5
    7) 70+5+10+10+10+5=110
    8) valoarea unui cerc este de 22
  • 0 (0 voturi)    
    Cercuri sau mere (Duminică, 3 iulie 2016, 14:13)

    iorda [utilizator]

    Suprafata de sub linie este egala cu suprafata de deasupra liniei => suprafata total 70.

    Suprafata din imagine este formata din: 5 mere muscate de suprafete egale + plus o suprafata ramasa de 5 (o muscatura).
    Primul mar este muscat in dreapta, restul sunt muscate in stanga.

    Deci, 5 mere muscate + o muscatura (5) = 70.
    Rezulta: un mar muscat are suprafata de 13, deci un mar intreg este 13 + 5=18.

    Putem vedea imaginea si ca pe un mar intreg si 4 mere muscate.
  • 0 (0 voturi)    
    cercuri (Duminică, 3 iulie 2016, 15:44)

    Lovilutia [utilizator]

    Exista o simetrie. Suprafata nehasurata este aceeasi ca si cea hasurata. Impreuna au 70 de unitati, la care trebuie adaugate cele 20 ale suprapunerilor. Total 90, ia impartind la 5, rezulta cata 18 pentru fiecare cerc.
    La problema a doua, numarul palariilor negre este egal sau nu cu acela al palariilor albe ?
  • 0 (0 voturi)    
    Sa tineti rubrica asta in viata multi ani (Duminică, 3 iulie 2016, 18:02)

    extrapolat [utilizator]

    Pentru cercuri: 35 x 2 + 5 x 4 = 90 aria totala a cercurilor, 90/5 = 18 aria fiecarui cerc.

    5x4 pentru ca suprafetele intersectate sunt deja luate in considerare fiecare cate o data in valoarea de 70.

    Initial am calculat 35x2 + 5x2 (cele doua de la capete) + 5x6 (cele trei cercuri din interior) = 110, aria fiecarui cerc 110/5=22. Dar in acest caz nu se ia in considerare faptul ca suprafetele intersectate sunt deja luate in considerare in suma de 70.

    La aia cu flamanzii ma mai gandesc.


Abonare la comentarii cu RSS

Top 5 articole cele mai ...



Hotnews
Agenţii de ştiri

Siteul Hotnews.ro foloseste cookie-uri. Cookie-urile ne ajută să imbunatatim serviciile noastre. Mai multe detalii, aici.
hosted by
powered by
developed by
mobile version
Marţi