Provocarea de logica a saptamanii: Doua usi si trei fesuri (UPDATE cu rezolvarile)
Pe prima ușă scrie „Ambele inscripții de pe uși sunt mincinoase.” Pe a doua ușă scrie „Aici e pantera”.
Pe care dintre uși trebuie să iasă Gogu?
Ca nucă tare am ales pentru astăzi o variațiune frumoasă la problemele cu căciuli, fesuri, puncte colorate etc. Avem trei deținuți. Unul vede cu ambii ochi, altul doar cu un ochi, iar ultimul e nevăzător. Paznicul le propune un joc. Are într-un sac cinci fesuri: două albe și trei roșii.
Pe întuneric, așa încât niciunul dintre cei care văd să nu poată avea vreo informație, scoate din sac trei fesuri și așază câte unul pe capul fiecărui deținut. Apoi aprinde lumina și le spune celor trei că, dacă unul dintre ei poate să spună ce culoare are fesul de pe capul lui, îi eliberează pe toți. Însă cei trei nu au voie să spună altceva în afară de răspunsul la întrebare, care poate fi doar „Alb”, „Roșu” sau „Nu știu”.
Îl întreabă pe cel care vede cu ambii ochi ce culoare are fesul de pe capul lui. Deținutul nu știe. Este întrebat cel care vede cu un singur ochi. Nici el nu știe. În aceste condiții... mai au cei trei șanse să fie eliberați? Cum?
Nota redactiei: Comentariile la acest material au fost aprobate duminica dimineata, odata cu includerea rezolvarilor in articol.
Mențiuni
Am primit patru sau cinci răspunsuri valide la problema cu ceasurile, ceea ce mi se pare remarcabil. Aș mai menționa și faptul că e problema care a primit cel mai mare scor: aproape 5 din 5. Le mulțumesc tuturor celor care au trimis răspunsuri și notări. Îi mulțumesc lui Mihai Negrea pentru verificarea problemelor.
NB: I-aș ruga pe cei care îmi trimit rezolvări prin e-mail să spună și cât de grea li se pare problema la care răspund (pe o scară de la 1 la 5). Mulțumesc. Comentariile, întrebările, propunerile, sugestiile și reclamațiile sunt așteptate la viorel.zaicu@hotnews.ro. Editura Paralela 45 sponsorizează gânditorii cu două titluri în fiecare săptămână: Boris Kordemski, 359 de probleme de matematică recreativă, și Martin Gardner, Cele mai îndrăgite jocuri matematice și logice. Premiile sunt oferite cititorilor care fie oferă o soluție originală (sau o explicație simplă și inedită) la problemele date, fie propun o problemă pe care n-am mai întâlnit-o (cel puțin nu în varianta respectivă). Nu vă străduiți să fiți originali cu orice preț – dacă sunt mai mulți câștigători o să fie și mai multe cărți!
Rezolvări
Ușile
Pe prima ușă. Dacă inscripția de pe prima ușă ar fi adevărată, ar însemna că ambele mesaje sunt false, deci și cel despre care tocmai am spus că e adevărat. Prin urmare, mesajul este fals. Dat fiind că celălalt mesaj este adevărat, Gogu trebuie să deschidă prima ușă.
Fesurile
Da, au. Totul este ca nevăzătorul să spună că are pe cap un fes . Dacă primul întrebat – cel care vede cu ambii ochi – ar vedea două fesuri albe, ar trebui să poată răspunde. Prin urmare, este clar că vede la ceilalți două fesuri roșii sau un fes alb și unul roșu, așa încât nu poate spune ce culoare are fesul de pe capul lui. Al doilea deținut nu vede două fesuri albe (caz în care ar ști ce să răspundă) și răspunde „Nu știu”, ceea ce înseamnă că nevăzătorul poate răspunde liniștit „Roșu”. Dacă ar fi avut pe cap un fes alb, al doilea deținut ar fi știut să răspundă (că are fes roșu, fiindcă dacă ar fi avut și el tot fes alb primul deținut ar fi știut că are fes roșu).
Cititi si provocarile de logica din ultimele 10 saptamani:
Varza, Gogu si ceasurile
Varstele copiilor si spargatorii
Caracatitele si propozitiile adevarate
Bacteriile si lantul
Sfertul de cerc si melcii strategi
Cartofii-minune si pastilele salvatoare
Guguta, ciorba si puntea afurisita
O cada de baie si 10 logicieni
Becuri si viteze
Bile, piulite si lacate

Liber la vaccinarea cu AstraZeneca: Unde sunt acum mii de locuri disponibile în București și cum poți găsi alt centru în țară / Explicațiile autorităților
Scurt ghid de făcut Bugetul franjuri: 10 excepții fiscale care au sărăcit Educația și Sănătatea, tolerate de toți- de la PSD la PNL și USR-PLUS
Ce metode au folosit Franța și Germania pentru a vaccina cât mai multe persoane vulnerabile și cum s-ar aplica și în România
FOTO Pistele de biciclete de pe Splaiul Independenței, trasate vara trecută de o companie municipală și care costă circa 1,5 milioane lei, au început să se degradeze
Nici viața de vegetarian nu e ușoară...fasolea, uleiul, pâinea și brânzeturile sunt în topul scumpirilor comunicate de INS
Avem doua cazuri pentru usa pe care avem mesajul:
„Ambele inscripții de pe uși sunt mincinoase.”
-> In prima varianta daca usa spune adevarul isi contrazice mesajul -> deadlock de logica
-> In a doua varianta daca usa minte atunci ambele mesaje au sens si usa pe care scrie "Aici e pantera"
spune adevarul.
Gogu trebuie sa iasa pe usa cu "Ambele inscriptii sunt mincinoase"
Problema 2: (2/5)
Primul detinut:
-> singura combinatie in care ar sti ce are pe cap
ar fi 2 caciuli albe. Deci el vede ori "rosu, rosu" ori
"alb,rosu".
Al doilea detinut:
-> stie ce a vazut primul facand aceasi deductie logica. Ar fi sigur de ce are pe cap daca ar vedea pe capul celui de al treilea "alb". Spune nu stiu deoarece vede "rosu" pe capul celui de al treilea.
Al treilea detinut:
-> facand deductiile logice pe care le-au facut si primii doi detinuti stie sigur ca are "ROSU" pe cap :)
Si asa au scapat toti 3 :)
Sunt doua variante, fie prima propozie este adevarata iar cea de-a doua falsa, fie prima propozitie este falsa, iar cea de-a doua este adevarata.
Daca prima propozitie este adevarata, respectiv „Ambele inscripții de pe uși sunt mincinoase.” atunci se creeeza un argument circular, caci nu se poate ca un din inscriptii sa fie adevarata concomitent cu faptul ca amandoua inscriptiile sunt mincinoase.
Rezulta deci ca prima propozitie este falsa, ceea ce inseamna ca cel putin una din inscriptii este adevarata. Cum insa nu pot fi amandoua adevarate, rezulta ca numai inscriptia de pe usa "Aici e pantera" este adevarata.
Gogu trebuie sa iasa pe usa pe care scrie "Ambele inscripții de pe uși sunt mincinoase."
1/5
Problema cu fesurile
Daca A spune ca nu stie ce culoare are fesul sau, acest lucru inseamna ca fie B si C au fesuri de culoare diferita, fie au amandoi fesuri de culoare rosie.
Daca ar fi vazut B si C avand fesuri de culoare alba, atunci ar fi putut spune cu siguranta ca are fesul de culoare rosie.
Deci B si C au fesuri de culori diferite, sau de culoare rosie amandoi.
Daca B spune ca nu stie ce culoare are fesul sau, acest lucru inseamna de asemenea ca fie A si C au fesuri de culoare diferita, fie au amandoi fesuri de culoare rosie.
Cum insa A nu a putut spune culoarea fesului sau, asta inseamna ca B si C nu pot avea amandoi fesuri de culoare alba.
Daca culoarea fesului lui C ar fi alba, atunci el ar stii cu siguranta ca culoarea fesului sau este rosie.
Ceea ce inseamna ca el vede culoarea fesului C fiind rosie.
Astfel incat C poate afirma cu siguranta ca culoarea fesului sau este rosie.
Alternativ daca toti trei afirma ca culoarea fesului pe care il au pe cap este rosie, unul tot va trebui sa nimereasca raspunsul corect deoarece nu sunt decat doua fesuri de culoare alba, ceea ce inseamna ca unul tot va trebui sa poarte un fes de culoare rosie
3/5
2. Detinutul orb trebuie sa spuna ca are fes rosu
Inscriptia de pe prima usa este falsa. Prin urmare inscriptia de pe a doua usa este adevarata, deci acolo se afla pantera. Gogu trebuie sa iasa pe prima usa.
Dificultate 1/5.
2. Caciulile
Din moment ce primii doi au spus ca nu stiu, inseamna ca nu exista 2 Albe, caci s-ar fi anuntat Rosu. Deci exista cel mult 1 caciula alba. Daca ea ar fi la orb, atunci cel de-al doilea detinut (1 ochi) ar fi spus imediat ca are rosu (1 caciula Alba maxim in joc si ea se afla la orb conform presupunerii). Dar el nu stie. Concluzie: orbul are caciula Rosie si astfel ii poate salva pe toti.
Dificultate 2/5
Vom numii cei trei detinuti "detinutul X" (primul care raspunde), "detinutul Y" (al doilea care raspunde) si "detinutul Z" (al treilea care raspunde).
Nu stim cate fesuri rosii si cate fesuri albe au fost puse pe capurile detinutilor, asa ca va trebui sa analizam (separat) toate cele 3 Cazuri (detinutii nu stiu in care dintre cele 3 Cazuri se afla):
C1: Au fost puse 2 fesuri albe si 1 rosu.
C2: Au fost puse 2 fesuri rosii si 1 alb.
C3: Au fost puse 3 fesuri rosii.
In acest caz, daca un detinut vede doua fesuri albe, isi da seama imediat ca el are fes rosu, deoarece stie ca exista in total doar 2 fesuri albe. Tinand cont de faptul ca detinutul X a raspuns "nu stiu", rezulta ca el nu a vazut 2 fesuri albe. Rezulta ca unul dintre fesurile albe se afla la detinutul X. Deoarece si detinutul Y a raspuns nu stiu, inseamna ca nici el nu vazut 2 fesuri albe, asa ca si el are pe cap tot un fes alb. Rezulta ca detinutul Z este cel care vede 2 fesuri albe. Astfel, in cazul C1 detinutul Z raspunde: eu am fes rosu.
Concluzie pentru C1:
Detinutul X raspunde "nu stiu".
Detinutul Y raspunde "nu stiu".
Detinutul Z raspunde "eu am fes rosu".
In cazul C2, exista 2 Situatii:
C2S1: detinutul X vede un fes rosu si unul alb.
C2S2: detinutul X vede 2 fesuri rosii.
In nici una din cele 2 situatii, detinutul X nu poate sa spuna ce culoare are fesul sau. Analizam pe rand cele 2 situatii:
C2S1:
Daca detinutul X se afla in situtia C2S1, atunci exista 2 Variante:
C2S1V1: Detinutul Y are fes rosu si detinutul Z are fes alb.
C2S1V2: Detinutul Y are fes alb si detinutul Z are fes rosu.
In varianta C2S1V1, detinutul Y vede un fes alb la detinutul Z, si astfel stie ca el nu poate sa aiba un fes alb, deoarece atunci detinutul X ar fi stiut imediat ca are fes rosu (dar nu a stiut). Astfel, in varianta C2S1V1, detinutul Y ar fi raspuns ca el are fes rosu, asa ca varianta C2S1V1 nu este posibila (avand in vedere enuntul problemei care ne spune ca detinutul Y a raspuns "nu stiu").
Concluzie pentru C2S1V1:
Detinutul X raspunde "nu stiu".
Detinutul Y raspunde "eu am fes rosu".
Concluzie pentru C2S1V2:
Detinutul X raspunde "nu stiu".
Detinutul Y raspunde "nu stiu".
Detinutul Z raspunde "eu am fes rosu".
Daca detinutul X se afla in situtia C2S2, atunci exista o singura varianta: detinutul X are un fes alb iar detinutii Y si Z au fiecare cate un fes rosu. Astfel, detinutul X (care vede 2 fesuri rosii) nu poate sa stie ce culoare are fesul sau. Detinutul Y vede un fes alb si unul rosu, asa ca nu stie ce culoare are propriul fes, raspunzand "nu stiu". Auzind acest raspuns, detinutul Z, care vede un fes alb la detinutul X, stie ca el nu poate sa aiba fes alb, deoarece in acest caz detinutul Y ar fi stiut imediat ca are fes rosu (dar nu a stiut). Astfel, in situatia C2S2 detinutul Z raspunde: eu am fes rosu.
Concluzie pentru C2S2:
Detinutul X raspunde "nu stiu".
Detinutul Y raspunde "nu stiu".
Detinutul Z raspunde "eu am fes rosu".
Facand toate rationamentele de mai sus, detinutul Z stie ca daca el vede 2 fesuri rosii, atunci poate sa se afle doar in varianta C2S1V1 sau in cazul C3. Dupa cum am aratat mai sus, varianta C2S1V1 nu este posibila (deoarece in aceasta varianta detinutul Y ar fi raspuns ca el are fes rosu, ceea ce nu a facut) asa ca singura posibilitate este ca el sa se afle in cazul C3, in care toti 3 detinutii au cate un fes rosu. Astfel, in cazul C3 detinutul Z raspunde: eu am fes rosu.
Concluzie pentru C3:
Detinutul X raspunde "nu stiu".
Detinutul Y raspunde "nu stiu".
Detinutul Z raspunde "eu am fes rosu".
Dificultate: 0,5.
2. Primul deținut poate vedea la ceilalți doi:
a) doua fesuri albe, caz în care STIE ca el are un fes rosu, fesurile albe fiind doar doua;
b) doua fesuri roșii;
c) un fes alb și unul rosu.
Pentru că el zice NU STIU, rămân posibile variantele b) si c).
Al doilea deținut se va uita doar la deținutul al treilea ( tot are el doar un ochi). Daca al treilea are fes alb, inseamnă că suntem în cazul c) si al doilea VA STI ca fesul lui este rosu. Dar pentru ca NU STIE, inseamnă că al treilea are fes rosu.
Al treilea deținut, cel orb, nici nu are nevoie sa vadă, la fel ca noi, care nu suntem acolo. Cu raționamentul de mai sus STIE că are fes rosu. Dacă e la fel de deștept ca noi, deținuții vor fi eliberați!
Dificultate: 2 (nuca "tare" a fost moale).
Asta inseamna ca pe a doua usa avem un mesaj adevarat, asa ca Gogu, daca tine la viata, intra pe prima usa.
2.Sa presupunem ca ultimul detinut are un fes alb; ar fi doua posibilitati:
-primii doi ar avea un fes alb,respectiv unul rosu; atunci cel cu fes rosu ar vedea doua fesuri albe, deci ar sti ca are un fes rosu - ceea nu e posibil.
-daca primii doi ar avea fesuri rosii, primul ar vedea un fes alb si unul rosu si ar raspunde "nu stiu"; in schimb, al doilea ar vedea fesul alb al celui de-al treilea si fesul rosu al primului si ar sti ca nu poate avea fes alb (daca ar fi fost asa primul ar fi vazut deja 2 fesuri albe, concluzionand ca are fes rosu) - din nou situatie imposibila.
Asa ca detinutii scapa, deoarece ultimul detinut, chiar daca e orb, stie ca nu are un fes alb, deci are fes rosu.
Inscripția de pe prima ușă invalidează însăși ipoteza cum că o ușă minte și una spune adevărul dacă ceea ce-ar scrie pe ea ar fi adevărat. Deci inscripția de pe prima ușă este "mincinoasă" și pantera e în spatele celei de-a doua uși.
2. Tough one.
Dacă primul deținut deschide ochii și vede două fesuri roșii, ar ști rapid că are fesul albastru. Deci vede în mod clar un fes roșu și unul albastru de aceea spune "nu știu".
Cel de-al doilea deținut spune "nu știu" pentru că vede la fel, un fes roșu și unul albastru. Dar fesul roșu nu poate fi decât pe capul primului deținut (pentru că dacă ar fi fost pe capul celui de-al 3-lea atunci deținutul numărul 2 ar fi spus că are clar fes albastru bazându-se pe răspunsul primului deținut).
Cel de-al treilea deținut știe în acest moment sigur că el are fes albastru și răspunde corect.
(vazatorul vede cel putin un fes rosu altfel ar spune rosu)
chiorul vede fesul rosu al orbului altfel ar spune rosu
orbul spune rosu
gogu iese pe prima usa
'aici e pantera e mesajul adevarat'
'ambele inscriptii sunt mincinoase e mesajul fals'