Preocupările pentru a găsi modele matematice care să descrie evoluția în timp a bolilor infecțioase datează de cel puțin câteva sute de ani. Primul model a fost obținut în 1760 de D. Bernoulli [1] care descrie evoluția variolei. Un pas important în obținerea unui model dinamic a fost făcut în 1911 de doctorul R. Ross [7], lauret al Premiului Nobel pentru medicină în 1902 pentru contribuțiile sale la studiul și înțelegera malariei, care a avut curajul să formalizeze descoperirile sale și din punct de vedere matematic. Mai sunt apoi modele empirice, făcute prin colectarea informațiilor despre epidemii care au avut loc de-a lungul timpului în diverse zone. Modelul matematic cel mai vechi, și cel mai utilizat, a fost obținut de către W.O. Kermack and A.G. McKendrick [5] în 1927 și, de atunci, nu a încetat sa-și dovedească utilitatea. O prezentare foarte cuprinzătoare și pertinentă a modelelor matematice din epidemiologie este cea a lui H.W. Hethcote [4].
Sunt două tipuri de modele care sunt utilizate în epidemiologie, cele matematice, cu preponderență dinamice, și cele statistice. Aceste două tipuri de model sunt într-o relație simbiotică: modelele matematice constituie osatura oricărei abordări științifice a bolilor transmisibile iar cele statistice constituie musculatura acestor abordări, cele care fac legătura cu cazurile reale. În al doilea rând, având în vedere că modelele sunt foarte generale, ele sunt aplicabile nu numai bolilor umane ci și celor din lumea animală, în ecosisteme. Dar, deși aceste modele par foarte simple, din punct de vedere matematic ele pun niște probleme care nu au întotdeauna o soluție simplă, sau chiar sunt probleme care încă nu au un răspuns satisfăcător. Modelul SIR, pe care doresc să-l prezint, se studiază de obicei la cursul de sisteme dinamice, vezi M. Hirsh, S. Smale, R.L. Devaney [5], dar importanța lui transcende cu mult aspectul didactic. Evoluțiile din ultimele două luni ale propagării virozei provocate de virusul COVID-19 nu sunt chiar o surpriză pentru cei care încearcă să ințeleagă această lume dintr-un punct de vedere rațional.
Supriza mare a venit însă din partea unor politicieni care, deși aveau rapoartele epidemiologilor din agențiile naționale pentru controlul bolilor contagioase, au considerat că este preferabil fie să ignore aceste informații fie să le bagatelizeze. Experiența spune că, atunci când ai la îndemână un model matematic pentru un anumit fenomen, este recomandat sa ții cont de el fiindcă, altfel, realitatea te lovește în față atunci când te aștepți mai puțin. Din păcate, lucrul acesta s-a întâmplat atât în Europa, leagănul civilizației moderne care a pus rațiunea ca fundament și care își datorează avansul exact dezvoltării științelor și a matematicii, cât și în Statele Unite ale Americii, sora mai mică și mai vitează. Dar, viața este plină de surprize.
O schimbare majoră de abordare din partea politicienilor a avut loc pe la jumătatea lunii martie când a fost publicat primul raport al ,,Imperial College COVID-19 Response Team” [2] care, pe baza prezentării unei analize obținută cu ajutorul modelelor cunoscute, a prezis cel puțin câteva sute de mii de victime numai în Marea Britanie, în caz că nu se iau măsuri de distanțare socială și în lipsa unor instrumente farmaceutice de tip medicamente antivirale sau vaccinuri. Confruntați și cu realitatea din Italia, politicienii au fost nevoiți să-și schimbe radical abordarea, în cele din urmă. La final, după numărătoarea victimelor și a pagubelor produse, poate că se vor trage și niște concluzii și se vor atribui responsabilitățile.
Scopul meu este să explic, pentru o audiență foarte largă, ce este modelul SIR și cum poate fi folosit pentru a înțelege ce anume se întâmplă în aceste zile nebune, cu atmosferă desprinsă din filmele SF. Forma de prezentare este ceva mai formalizată, prin comparație cu articolele de pe această platformă, cu câteva formule matematice dar care nu depășesc nivelul de cunoștințe necesare pentru a obține o diplomă de bacalaureat, și câteva grafice pentru câteva simulări.
Modele cu Compartimente. În epidemiologie se utilizează de mult timp niște modele dinamice pentru evoluția bolilor contagioase, numite modele cu compartimente.Se consideră o populație (o localitate, o aglomerare de localități, un județ, o țară, etc.) stabilă cu N locuitori (se ignoră nașterile, decesele și migrările), relativ omogenă, în care interacțiunile dintre locuitori au loc în mod continuu. Această populație se împarte în compartimente notate cu M, E, S, I, R, cu următoarele definiții:
M este numărul bebelușilor care au imunitate pasivă, moștenită în mod natural de la mamă, dar care durează un număr limitat de luni.
S este numărul de indivizi care sunt susceptibili de a fi infectați, care nu au imunitate.
E este numărul indivizilor care sunt în perioada lantentă de infectare dar care încă nu sunt contagioși.
I este numărul indivizilor care sunt infectați și care sunt contagioși, adică îi pot infecta pe oricare dintre indivizii din compartimentul S cu care intră în contact.
R este numărul indivizilor care au fost infectați dar care, fie s-au vindecat căpătând imunitate și deci nu mai sunt contagioși, fie au decedat.
Transferul dintre compartimente poate avea loc doar în urmatoarele moduri:
- din compartimentul M se poate trece doar în compartimentul S după un interval de timp relativ constant;
- din compartimentul S se poate trece doar în compartimentul E pentru un interval de timp relativ constant;
- din compartimentul E se poate trece doar în compartimenul I al celor infectați și contagioși;
- din compartimenul I se poate trece doar în compartimentul R fie prin vindecare și căpătarea unei imunități naturale fie prin deces.
