Hotnews utilizează fişiere de tip cookie pentru a personaliza și îmbunătăți experiența Dumneavoastra pe site-ul nostru. Am actualizat politicile pentru a integra în acestea modificările specificate de Regulamentul (UE) 2016/679 privind protecția persoanelor fizice în ceea ce privește prelucrarea datelor cu caracter personal și privind libera circulație a acestor date. Va rugam sa cititi modul in care Hotnews.ro prelucreaza datele cu caracte personal. Prin continuarea navigării pe site-ul nostru confirmati acceptarea utilizării fişierelor de tip cookie conform 
O muscă și un păianjen sunt într-o cutie ca cea din imagine, cu dimensiunile (10x4x4 cm). Ambele gângănii sunt rupte de oboseală. Musca s-a oprit să-și tragă sufletul în punctul B, care se află la jumătatea laturii. Păianjenul este în punctul A, aflat și el la jumătatea laturii. Care e cel mai scurt drum pe care păianjenul poate ajunge la muscă? (Bineînțeles, nu e Superpăianjenul, să arunce un fir și apoi să coboare pe el până la muscă - trebuie să meargă pe pereții cutiei.)
Mentiuni
Îi mulțumesc lui Mihai Negrea pentru verificări. I-aș ruga pe cei care îmi trimit rezolvări prin e-mail să spună și cât de grea li se pare problema la care răspund (pe o scară de la 1 la 5).
Mulțumesc. Comentariile, întrebările, propunerile, sugestiile și reclamațiile sunt așteptate la viorel.zaicu@hotnews.ro.
Rezolvări
Melcul
Nouă. Parcurge un metru în fiecare zi (atunci când măsurăm a doua zi dimineața), numai că în ziua a noua ajunge deja la gura puțului.
Musca
Multora li se pare paradoxal, însă drumul cel mai scurt nu este cel marcat aici de linia punctată, ci acela marcat de linia plină. Bineînțeles, cutia poate fi desfășurată în mai multe moduri, așa că mai există trasee, dintre care două sunt și ele cele mai scurte iar unul este... cel mai lung cu putință. Dacă vă distrați cu desfășurarea cutiei le puteți găsi foarte ușor.
Cititi si provocarile de logica din ultimele 11 saptamani:
Ciorapii si monedele
Logicianul in vacanta
Cutia cu purici și literele
Painea prajita si mancatorii de iaurt
13 monede si niste precupeti
Cinci cercuri si doisprezece infometati
Doua usi si trei fesuri
Varza, Gogu si ceasurile
Varstele copiilor si spargatorii
Caracatitele si propozitiile adevarate
Bacteriile si lantul
Musca - nu-mi dau seama ce imi scapa, dar mi se pare absolut triviala, tinand cont de modul in care a fost formulata. Mai exact, pentru ca si musca, si paianjenul sunt la jumatatile laturilor si laturile pe care stau sunt egale, drumul cel mai scurt e format din doua linii perpendiculare pe laturile respective, care se intalnesc in acelasi punct, rezultand un total de 14 cm. Daca n-ar fi fost ambii fix la jumatatea laturilor, problema ar avea mai mult sens, pentru ca exista mai multe drumuri posibile (formate fie din 2 linii perpendiculare care nu se intalnesc in acelasi punct, fie din una perpendiculara si una "oblica", fie din doua linii oblice) si trebuie argumentat care e cel mai scurt. La cum e formulata - 1/5, daca se elimina cerinta ca ambii sa fie la mijlocul laturilor pe care stau, atunci devine ceva mai complicata, poate 3/5.
Intuitiv înțelegem că drumul acesta e cel mai scurt, din cauză că cele trei unghiuri descrise de traiectoria păianjenului pe fiecare din fețe sunt egale, și anume au un sinus (sau cosinus, depinde pe care unghi îl folosim) de 0.5. Dacă „desfacem” cutia de carton ridicând fața de sus înspre noi, și deschizând fața din stânga înspre noi, și trasăm o linie dreaptă între A și B, aceasta va intersecta cele două muchii în punctele Y și X.
Folosind teorema lui Pitagora, distanța parcursă este (6^2+12^2)^(1/2) = 180^(1/2) = 13.4164...
Evaluez problema la 3/5.
As fi pus chiar 4/5, dar varianta cu 10+4=14 era suspect de banala si te ducea rapid cu gandul ca poate e "ceva" la mijloc.
-melcul va ajunge la lumina la sfarsitul celei de-a noua zile si nu va mai cobori inca un metru
-avand in vedere ca painjenul nu poate iesi din plan, desfacem cutia (laterala mica,cea care contine punctul A, o aducem la orizontala) si obtinem o suprafata plana cu cele 2 puncte, intre care, evident, cel mai scurt drum e linia dreapta. Il completez aici pe marianmarian, daca punctele A si B nu sunt pe mijloacele muchilor respective, tot asa obtinem cel mai scurt drum.
Nu ar trebui sa ascundeti comentariile pana maine dimineata?
citeste mai sus solutia corecta
Solutia corecta e o linie ... dreapta dar intr-un univers un pic diferit de cel plan ... mai exact cand desfaci plansa fata de jos e inca legata de fata laterala chiar daca acum nu mai e (dupa desfacere).
E asa de greu?
Ce satisfactie sa am sa postez dupa cineva care deja a dat raspunsul?
dificultate : 1/5
Paianjenul din punctul A imparte latura de 10 cm in 4+6 cm si merge pe ipotenuza triunghiului dreptunghic cu laturile 2 & 4. Dupa care imparte latura de 4 cm in 3+1 cm si merge pe ipotenuza triunghiului dreptunghic 6&3. Dupa asta mai are de parcurs ipotenuza triunghiului cu catetele 1&2 pana in punctul B.
In total are √(4+16) +√(36+9) + √ (4+1) = (2+3+1)*√(5) ≈ 13,4164 cm care e mai putin decat solutia evidenta de 14 cm :)
Dificultate 4/5
la ultimul termen ai inlocuit
√ (4+1) cu √ (16+1)
si ti-a dat altceva
Cred ca solutia optima e de fapt alta, dar e prea mult de scris aici, cu toate ca e foarte intuitiva. Am s-o trimit pe email si aflam maine raspunsul corect. Dar intrebarea pe care ti-am pus-o ramane.
Rezultatul e ca acea linie dreapta e ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu catetele 12 si 6. Astfel stim panta ipotenuzei (1:2) si putem deduce unde trebuie impartite muchiile cutiei.
In ziua a 9-a parcurge ultimii 2m si iese afara.
1-5
musca
coboara 4 cm apoi merge 10cm inainte pana la musca. total 14 cm.
1-5
Intuitiv, desfasuram cutia pe laturile mari si obtinem un triunghi dreptunghic cu catetele 8 si 10. Ipotenuza va fi aprox. 12.8
Astfel:
-parcurge piezis fata superioara atinge muchia laterala la un sfert (2.5cm) din distanta parcurgand (2*2+2.5*2.5)^1/2 cm =~3.20cm.
-continua piezis fata laterala atingand muchia de jos la trei sferturi din distanta parcurgand (4*4+5*5)^1/2 cm = ~6.4cm
- continua pe fata inferioara cu un traseul siilar celui de pe fata superioara ~/3.20cm.
P.S Solutia de 13.41cm (180^1/2) cm este aplicabila cazului in care paianjenul si destiantia sa este _PE_ cutie si nu _IN_ cutie.
Solutia mea (cu 13,41) e un minim local :)
- fata de sus se intoarce spre noi asa incat punctul A ajunge pe o verticala in dreapta
- fata de jos se intoarce spre noi asa incat punctul B ajunge pe o verticala in stanga
Rezulta ca drumul cel mai scurt intre A si B e ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu laturile 8 (2+4+2) pe verticala si 10 pe orizontala => AB = radical din 164 = 12,8062484748657
Evident in ultima zi urca 2 m si nu mai coboara. Asta inseamna 8 zile (necesare de a urca 8 m) plus ultima zi. Deci ii sunt necesare 9 zile.
Dificultate 1/5
Musca si paianjenul.
Drumul cel mai scurt dintre 2 puncte este o linie dreapta. Din moment ce paianjenul nu poate iesi din plan (merge doar pe fetele cutiei) atunci trebuie sa desasuram cutia in plan. Astfel se obtin DOUA puncte A si vrem sa comparam care AB(1) si AB(2) este mai scurt. In plan cutia arata de jos in sus cam asa (mai usor sa desenez decat sa explic dar asta e):
un dreptunghi 10 x 4
un patrat 4x4 plus un dreptunghi 10 x4 plus un patrat 4x4
un dreptunghi 10 x 4
un dreptunghi 10 x 4
Dreptunghiurile de 10 x 4 sunt aliniate perfect.
Deci primul punct A este pe patratul 4 x 4 din dreapta. Rezulta AB(1) = 10 + 4 = 14 cm.
Al doilea punct A este pe latura dreapta a dreptunghiului de sus. Rezulta (Pitagora):
AB(2) = SQRT (10^2 + (2+4+2)^2) = SQRT(164) = 12.8062 cm.
Deci paianjenul va merge pana va interesecta prima muchie in punctul situat fata de coltul dreapta sus la distanta (asemanare) 2/8=x/10=> x=5/2
Apoi va merge pana in punctul situat fata de coltul din dreapta jos (asemanare):
6/8=y/10 =>y=15/2
Raspuns final 12.8062 cm.
Calificativ 1 din 5.
Problema cu paianjenul si musca e mult mai grea si e o problema de optimizare ceea ce inseamna in principiu ca admite o infinitate de solutii.
Am setat urmatoarele variabile:
M (pozitia mustei ca si origine intr-un sistem cartezian de 3 coordonate).Inca 3 puncte corespunzatoare paianjenului
P (pozitia initiala) P1 si P2.
Sunt necesare 3 deplasari :
DPT (deplasarea pe tavan)
CPPL(coborarea pe perete lateral)
,DPP(deplasarea pe podea).
Practic paianjenul trebuie sa se deplaseze 10 metri pe axa Oy,deplasandu-se spre origine.Celelalte coordonate sunt fixe.
M(0,0,0),P(0,10,4).P1 (2, y-variabil, 4),P2 (2, y-variabil, 0).
Intrucat sunt 2 variabile in lucru nu exista solutie unic determinata si am introdus variabilele in Excel si am facut simulari.
Optimul obtinut a fost 12,859 metri .Prima deplasare pe axa oy a fost de 3,35 metri iar ipotenuza (DPT) rezultata a fost de 3,902 .A 2-a deplasare pe oy a fost de 4,45 metri iar ipotenuza (CPPL) a fost de 5,984 metri.au mai ramas de parcurs 10-(3,5+4,5) =2,2 metri de parcurs pe axa oy,iar ipotenuza (DPP) a fost de 2,973 metri.
y2 = 5 metri
Drum paianjen=12,806 metri.(valoare imbunatatita cu 5 cm).
Intuitiv, daca desfasuram cutia pe muchiile mari, linia directa intre A si B ar fi ipotenuza triunghiului dreptunchic cu catetele de 8, respectiv 10cm.
x^4 - 14x^3 + 46x^2 -300 ... 2.5 nu e radacina pt ecuatia asta ... asa ca as fi interesat cum s-a ajuns la valoarea 2.5 cm
E posibil sa fi gresit eu la calcule.
Am notat cu x distanta pe muchia de sus si am calculat distanta parcursa in functie de acest x si de laturi. Apoi am luat derivata de ordin 1 si am egalat-o cu 0 (ca sa gasesc minimul functiei) si am ajuns la ecuatia de mai sus (daca nu am gresit pe undeva la calcule ceea ce mi s-e intampla :( )
Dacă am numit cele două puncte Muscă și Păianjen, atunci notația din plan trebuia redată cu M și P, nu cu A și B.
A și B era o notație corectă dacă gângăniile erau Albină și Bondar.
Aceasta întrucât atunci când operăm cu matematică distractivă trebuie păstrată o anumită consecvență inclusiv în desenele geometrice, astfel încât ansamblul problemei să păstreze nota umoristică din ipoteză.
Așa fiind, notația A și B ar fi fost corectă într-un exercițiu de geometrie abstract, însă în problema de față apreciez că un pedagog de formație ar fi notat Musca cu M și Păianjenul cu P. Gradul de dificultate cred că este 5/5.