Provocarea de logica a saptamanii: Herr Casanova (UPDATE cu rezolvarea)
Ramele circulă la ore fixe și intervale cât se poate de regulate. (Doar suntem în Germania!) Care sunt aceste intervale nu contează. La o anumită oră ele sunt de 5 minute, la o alta de 10, sau chiar de 15.
Dar Casanova nu are timp să le studieze orarul, și nici răbdare să aștepte. Așa că ori de câte ori se hotărăște să viziteze o iubită, merge în stație și ia trenul care vine primul, oricare ar fi direcția în care merge.
Altfel spus, așa alege el la care dintre iubite să meargă.
După două luni, Casanova constată un lucru curios: a fost de 6 ori la Inga și de 24 de ori la Helga.
De ce s-a întâmplat una ca asta?
Rezolvare
Zice Marin Sorescu: „Fugind după curci, mi-am dat seama/ Cât de hurducat e globul pământesc,/ Măcar că umblă zvonul c-ar fi rotund, aşa, luat la grămadă.” Nu știu dacă Herr Casanova și-a dat seama de ceva, că n-a fugit după curci, dar a luat metroul din stația de lângă casă de 30 de ori.
Nu e puțin lucru, avem deja relevanță statistică. Putem așadar să stabilim de ce a ajuns la Inga doar de 6 ori, adică o dată la fiecare 5 călătorii.
Dacă ramele ar fi circulat în același timp, totul ar fi devenit o problemă de alegere, dar problema ne spune că Herr Casanova nu are preferință. Dacă ramele ar fi circulat perfect intercalat (la fiecare 5 minute ar fi în stație un metrou), vizitele la Inga ar fi trebuit să fie aproximativ 15 (14 sau 16, ori în cel mai rău caz 13 sau 17).
Asta pentru că indiferent la ce oră ar fi ajuns în stație intervalul până la primul tren ar fi fost un rest din cele 5 minute dintre trenuri, așa că în timp alegerile personajului nostru s-ar fi egalizat.
(Ca să înțelegem mai ușor, să presupunem că în toate cele 30 de cazuri Casanova a ajuns în stație la o oră diferită: în primul caz la 18.01, în al doilea la 18.02 iar în al treizecilea la 18.30. Ar rezulta – dacă trenurile au circulat la 18.05, 18.10 ș.a.m.d. – că a luat de 5 ori trenul de 18.05, apoi de 5 ori pe cel de 18.10 și tot așa, adică de 15 ori trenul care mergea spre Inga și de 15 ori trenul care mergea spre Helga.)
Prin urmare, intervalul dintre trenurile care circulă spre Helga și cele care circulă spre Inga este de patru ori mai mic. Altfel spus, trenurile către Helga trec la 18.00, 18.10 ș.a.m.d., iar cele către Inga la 18.02, 18.12 ș.a.m.d. Rezultă că și șansele lui Casanova de a ajunge în stație în intervalul de două minute sunt de patru ori mai mici.
Dacă el ar ajunge în stație ca în exemplul de mai sus, de fiecare dată cu un minut mai târziu, ar prinde de 6 ori trenul spre Inga și de 24 pe cel spre Helga. Este și motivul pentru care s-a întâmplat așa: intervalele dintre un tren și celălalt erau într-un raport de 1 la 4.
Până săptămâna viitoare vă mai puteți distra cu următoarea problemă (o combinație simplă-simplă a celor de data trecută): Avem două fitiluri care ard (inegal) 3 minute fiecare și o clepsidră de 8 minute. Cum se pot măsura 9 minute?
Comentariile, întrebările, propunerile, sugestiile, reclamațiile și calificativele sunt așteptate la viorel.zaicu@hotnews.ro
La problema de săptămâna trecută– cea cu 9 minute – am primit ideea unei rezolvări alternative de la domnul Daniel Mircea. Este foarte elegantă, iar intervalul este măsurat chiar de la început, în felul următor: se pornesc clepsidrele; după 4 minute este întoarsă prima; după 7 minute este întoarsă a doua; în acest moment clepsidra mică mai are 1 minut; așadar, după 1 minut (când din clepsidra mare s-a scurs un minut iar de la început au trecut 8 minute) este suficient să întoarcem clepsidra mare.
Tema pentru acasă cerea măsurarea a 15 minute cu două clepsidre – una de 7 minute și una de 11. Totul din numai două întoarceri.
O variantă ar fi să răsturnăm ambele clepsidre odată. După ce s-a terminat clepsidra de 7, o întoarcem. Astfel, până la terminarea clepsidrei de 11, ea va măsura 4 minute. Așa că dacă o întoarcem avem nevoie de alte 4 minute ca să se scurgă tot nisipul din partea de sus. 11 + 4 = 15.
Cealaltă variantă ar trebui să fie deja evidentă. Întoarcem ambele clepsidre. După 7 minute în clepsidra de 11 au rămas 4 minute. Este suficient să o răsturnăm de două ori. 4 + 11 = 15, cu diferența că în cazul ăsta măsurătoarea durează de fapt 22 de minute.
Cititi si
Provocarea de logica a saptamanii : Fitiluri și clepsidre
Provocarea de logica a saptamanii: Inviorati-va neuronii cu problema lui Einstein

Ministrul energiei cedează în fața ANRE în ceea ce privește liberalizarea, deși este "ușor nemulțumit" / Marii furnizori de energie nu vor fi obligați să ofere reduceri de prețuri
Cum decurge vaccinarea într-o comună din Iași: doar patru persoane imunizate luni, o singură persoană programată pentru marți: „Nu pot să aduc oameni de acasă să-i vaccinez”
Povestea discului de la Nebra - Un fals extrem de bine făcut sau cea mai veche reprezentare a cerului?
“Oglinda fermecată” a autorităților ne spune povestea noastră de anul acesta. De fapt, Comisia de Prognoză o spune pentru buget
O copie din secolul XVI a lui „Salvator Mundi”, cel mai scump tablou din lume, a fost recuperată de poliția italiană / Povestea din spatele operei de artă
Helga locuiește la Gara de Nord, direcție in care metrourile trec prin Eroilor de obicei la 5 minute și mai rar la 10 sau 15 minute iar Inga sta in Militari cartier spre care trenurile trec la 15 minute de obicei și mai rar la 10 sau 5.
In felul acesta Casanova, care intra in Eroilor la momente total aleatoare, va lua cu probabilitate mai mare trenul către Gara de Nord (Helga) decât spre Militari (Inga).
H--I--------H--I--------H......
Pentru intervalele H-H și I-I:
5 min, T = 1 min,
10 min, T = 2 min
15 min, T = 3 min.
Cu alte cuvinte, la schimbarea frecventei cu care vin trenurile trebuie sa se modifice și distanta temporala intre metroul de Helga și cel spre Inga, ca altfel dacă o ții tot 1 minut ai probabilitate de 90% sa ajungi la Helga pentru frecventa "la fiecare 10 minute" și de 93.3% pentru 15 minute și nu mai scoți probabilitate de 80% spre Helga.
M-am trezit si io dupe, dar mai bine mai tarziu decat niciodata, zic tot io...
Daca intervalul e de 5 minute si vagoanele catre Helga vin la 10:20, 10:25, 10:30 atunci vagoanele catre Inga vin la 10:21, 10:26, 10:31 si astfel daca ajungi in statie intr-un interval de 5 min (intre 10:20 si 10:25) ai 4 sanse sa iei metroul catre Helga si o sansa sa iei metroul catre Inga.
O primă soluţie ar fi că femeile îşi schimbau domicilul între ele.
O a doua soluţie ar fi că metroul circulă într-un cerc de 10 statii de exemplu. Casanova stă la o statie de Inga şi la 9 de Helga. Poate fiindcă-i place mai mult de Helga, poate că citeşte în metrou, poate că e obosit, inconştient se pregăteşte pentru o călătorie mai lungă cu metroul, 9 staţii intr-un sens, 11 staţii în celălalt sens.
O a treia soluţie este că s-a dus de 6 ori la Ilga şi le-a găsit pe amândoua acolo şi de saşe ori la Helga singură. Pentru restul de de 12 intălniri cu Helga putea foarte bine că Ilga să lipsească de la întâlnirile în trei.
Când ambele circulă la 5 minute, durata între trenul spre Inga și cel spre Helga e de 4 minute, în timp ce durata între trenul spre Helga și cel spre Inga e doar 1 minut.
Când ambele circulă la 10 minute, durata între trenul spre Inga și cel spre Helga e de 8 minute, în timp ce durata între trenul spre Helga și cel spre Inga e doar 2 minute. În concluzie are dreptate @valyfl
Daca trenurile vin la intervale regulate, insamna ca decalajul intre ele este intotdeauna acelasi. Singurul lucru incert si probabilistic este cand ajunge omu pe peron.
Daca intervalul intre trenurile din directii diferite este:
Helga - 1 min - Inga - 4 min - Helga - 1 min - Inga - 4 min ...etc
Atunci sansele sa ajunga in intervalul de timp intre trenul de inga si helga sunt 4/5 si deci va lua trenul de Helga.
Sansele sa ajunga in intervalul intre trenul de Helga si trenul de Inga sunt 1/5 caz in care va lua trenul de Inga.
Ai dreptate, doream sa explic mai clar.
PP ca timpul dintre trenul care merge ca A si cel care merge catre B este de 2 min.
Atunci calculam probabiltiate ca gogu sa ajunga cu trenul catre A sau catre b sunt determinate de:
total cazuri posibile = 10
total cazuti posbilie ca sa ajunga la A = 8 (ptr, ca gogu poate sa ajunga in min 3,4,5,6,7,8,9,10)
total cazuri posibile sa ajunga la B = 2 (ptr ca are sansa de la min 1 si cea de la min 2)
deci pA=8/10 si pB=2/10 ca in poveste..
Daca trenul catre B venea exact dupa 5 min. dupa cel catre A, deci exact la jumatatea intervalului adicalea la min.6 atunci gogu nostru avea:
total cazuri posibile=10
total cazuri posibile care B=5 (ptr. ca avea sansa de la min 1.2.3.4.5)
total cazuri posibile catre A =5 (ptr. ca avea sansa de la min, 6,7,8,9,10)
Zic ca nu e prea grea si nici prea greu de inteles.
Poate problema avea sens cu o intrebare de probabilitat, gen "Cum ar trebui sa vina vagoanele..."
Chiar si asa enuntul este destul de neclar: "circulă la ore fixe și intervale cât se poate de regulate" ... aici sunt mai multe interpretari posibilie.
Pe urma ...
"La o anumită oră ele sunt de 5 minute, la o alta de 10, sau chiar de 15" ... aici lasa la alegerea oricui daca este in acelasi timp pentru ambele sensuri sau nu.
Cu drag un analist de cariera :)
Plus de asta, problema nu spune ce se intampla daca se duce la una din ele si ea nu e acasa. Se duce la cealalta sau se lasa pagubas?
PS: Raspuns- Inga are job iar Helga e casnica.
Acu pe bune, cu numai 2 iubite nu prea poți emite pretenții de Casanova!
Sa luam, pentru simplitate, un interval regulat de 10 minute a sosirilor fiecarui tren intr-o directie (I/H).
Garnitura spre H vine, deci, la 12:00, 12:10, 12:20 etc.
Daca trenul I ar veni EXACT la jumatatea intervalului (
12:05, 12:15 etc), atunci sansele lui C de a lua unul din cele doua trenuri ar fi EXACT 50%, presupunand ca ajunge oricand intre 12:00 si 12:09 (mai departe se repeta). Textul problemei ne spune insa ca nu e asa. Avem 80% pentru H si 20% pentru I.
Rezulta in mod necesar ca cele doua sosiri sunt decalate cu un interval de timp care NU ESTE JUMATATEA FRECVENTEI intr-o directie. Mai mult, nici macar nu conteaza cat este decalajul, important e ca nu este jumatate.
Exemplu: 10:00 si 12:10 trenul spre H, 12:03 si 12:13 trenul spre I. Este clar ca, in intervalul 12:01-12:10 (zece minute), C are doar 20% sanse sa dea peste trenul spre I (care pleaca la 12:03).
Cu orice alte frecvente rezolvarea e asemanatoare.
Venind in statie la ora aleatorie sansa de a merge in acea directie e de 3 ori mai mare.
Deja sunt 4 variabile (din care numai 3 numere intregi) si doua ecuatii deci o multime de solutii. Daca s-ar cunoaste distributia (orarul) intervalelor de 5, 10 si 15 minute atunci am avea solutie unica.
3 + 3 + 3 = 9
1. 3 min un fitil
2. 3 min un fitil + clepsidra
3. 3 minute clepsidra de la pct.2
2. 3 min. clepsidra curge
3. 3 min. ultimul fitil aprins
sau
1. 3 min aprind fitil - clepsidra curge
2. 3 min fitil 2 aprins
3. 3 min curge linisiti clepsidra